Сyммa цифр сyммы цифр ..... сyммы цифр 100!

[kot-obormot]

Добрый вечер! Помогите пожалуйста, разобраться с сyммoй цифр.

Задача такая.

Найдите $x_{10}$, если известно, что $x_0=100!$, a $x_1$ - сyммa цифр числа $x_0$, $x_2$ - сyммa цифр числа $x_1$, $x_3$ - сyммa цифр числа $x_2$, ... , $x_{10}$ - сyммa цифр числа $x_9$

Я посмотрел на маленьких факториалах $n!$ и понял, что начиная с некоторого номера $n=N$ получается, что $x_{10}=9$.

Потому есть подозрения, что нужно думать в сторону $9$. Сразу вспоминается признак делимости на 9.

Ясно, дело, что $100!$ содержит имеет делитель $9^{k}$, где $k$ достаточно большое (вроде как, произведение 10 последовательных чисел кратно $9^3$, потому, скорее всего, $k=30$). Но как это помогает. Вот очевидно, что $x_1$ делится на 9, а вот дальше - не ясно.

[Xaositect]

Оцените количество цифр в $x_k$.

[wrest]

kot-obormot в сообщении #1465256 писал(а):

Вот очевидно, что $x_1$ делится на 9, а вот дальше - не ясно.

Ну дык раз $x_1$ делится на $9$, то и сумма цифр $x_1$ делится на $9$

[B@R5uk]

Xaositect в сообщении #1465263 писал(а):

Оцените количество цифр в $x_k$.

Я бы сказал, что сначала надо оценить количество цифр просто в числе. Потом оценить сверху сумму этих цифр. А потом можно уже взяться за $x_k$.

[kot-obormot]

Спасибо за подсказки. Попробую сделать оценки.
Сначала оценим $x_0=100!$. Если оценивать грубо, то каждое число в произведении факториала не больше 100, значит $100!<100^{100}$. Но это будет слишком грубо. Можно не столь грубо сделать так. Половина чисел в произведении не более 50, потому $100!<50^{50}\cdot 100^{50}$. Можно уточнять оценку далее.
Если самое грубое приближение использовать $100!<100^{100}=10^{200}$, то цифр в $100!$ не более 201.
Если рассмотреть $x_1$, то ясно, что раз у $x_0$ не более $201$ цифры, то сумма этих цифр не более $201\cdot 9=1609$. Если число не более $1609$, то сумма цифр не более $9+9+9=27$ Значит $x_2$ не более $27$, а значит , $x_3\le 10 $, $x_4\le 9$....а значит я что-то не так делаю))

-- 26.05.2020, 23:27 --

wrest в сообщении #1465266 писал(а):

kot-obormot в сообщении #1465256 писал(а):

Вот очевидно, что $x_1$ делится на 9, а вот дальше - не ясно.

Ну дык раз $x_1$ делится на $9$, то и сумма цифр $x_1$ делится на $9$

Кажется это означает, что начиная с некоторого $k$ у нас $x_k=9$. Интуиция мне подсказывает, что сведется это к тому, что мы получим последнее число, которое делится на 9, если сумма цифр будет быстро убывать, а если будет убывать не очень быстро, то некое число, которое делится на 9 будет в ответе, он что-то мне подсказывает, что сумма цифр убывает быстро!

[FEBUS]

Очевидно, что для для любого \;$\;N! (N\geqslant6)$ все $\;x_k=9\quad$, начиная с некоторого.
Пусть $s(N)- $ сумма цифр числа $ N$, тогда $N\vdots 9 &\Rightarrow s(N)\vdots9 $.

[kot-obormot]

FEBUS в сообщении #1465349 писал(а):

Очевидно, что для для любого \;$\;N! (N\geqslant6)$ все $\;x_k=9\quad$, начиная с некоторого.
Пусть $s(N)- $ сумма цифр числа $ N$, тогда $N\vdots 9 &\Rightarrow s(N)\vdots9 $.

Спасибо! А вот как узнать это некоторое число? Оценкой сверху ведь. А правильно ли я нашел оценку?

[wrest]

kot-obormot в сообщении #1465351 писал(а):

Спасибо! А вот как узнать это некоторое число? Оценкой сверху ведь. А правильно ли я нашел оценку?

Надо прикинуть сколько там нулей в конце исходного факториала. Нуль получается когда двойку умножают на пятерку. Поскольку двоек больше чем пятерок, то считать надо только пятерки -- сколько их столько и нулей.
Порядок (количество цифр в факториале) прикинуть можно по формуле Стирлинга (не забыв взять от неё десятичный логарифм).
Ну дальше вроде ясно.
Ясно же?

[provincialka]

Стирлинг в гробу перевернулся ))

(исходный пост был исправлен)

Честно говоря, даже не опознала способ ваших рассуждений: Вы показываете, что $x_1\leqslant 1609$

kot-obormot в сообщении #1465340 писал(а):

Значит $x_2$ не более $1+6+0+9=16$,

и в то же время

kot-obormot в сообщении #1465340 писал(а):

а значит $x_3$ не более $16\cdot 9=144$

По какому принципу строите оценки?

-- 27.05.2020, 00:12 --

Если что, я не согласна ни с одним из этих "значит"

[mihaild]

kot-obormot в сообщении #1465340 писал(а):

а значит я что-то не так делаю

Нет, всё правильно.

wrest в сообщении #1465354 писал(а):

Надо прикинуть сколько там нулей в конце исходного факториала

Какая разница, сколько там нулей будет? Нас интересует число разрядов же.

wrest в сообщении #1465354 писал(а):

по формуле Стирлинга

Из пушки по воробьям. После первого же логарифмирования всё равно получим ту же асимптотику, что и у тривиальной оценкци сверху $n! \leqslant n^n$ (зато эта оценка очевидно точная, а формула Стирлинга асимптотическая, и надо еще думать про конкретные оценки).

[kot-obormot]

provincialka в сообщении #1465355 писал(а):

Если что, я не согласна ни с одним из этих "значит"

Извините, я по ходу пьесы исправил пост, думал, что не успеете прочитать. Если бы знал, что успеете, оставил бы предыдущий вариант и внес исправления.

[provincialka]

kot-obormot
да, снимаю свои возражения Теперь я не согласна только с одним утверждением:

kot-obormot в сообщении #1465340 писал(а):

а значит я что-то не так делаю))

-- 27.05.2020, 00:47 --

mihaild
Мне кажется, wrest просто пошутил )

[wrest]

mihaild в сообщении #1465358 писал(а):

Какая разница, сколько там нулей будет? Нас интересует число разрядов же.

Сумма цифр стартового факториала. Сумма концевых нулей очевидно нуль. Ну а с другой стороны конечно, что 200 там, что 160, что 130 там ненулевых цифр в факториале -- большой разницы не делает.

[FEBUS]

kot-obormot в сообщении #1465351 писал(а):

Спасибо! А вот как узнать это некоторое число? Оценкой сверху ведь. А правильно ли я нашел оценку?

$100!<100^{100}=10^{200}\quad\Rightarrow\quad x_1< 1800 \quad \Rightarrow \quad x_2<27 \;\Rightarrow \;x_3=9. $

[mihaild]

FEBUS в сообщении #1465439 писал(а):

$100^{100}=10^{1000}$

А как вы это равенство получили?