Минимизировать площадь n-угольника, описанного вокруг окр

[Juicer]

Пытаюсь минимизировать площадь n-угольника, описанного вокруг единичной окружности, как-то при этом используя неравенства.
Также нужно ещё найти $\lim_{n\rightarrow\infty}S_n$, где $S_n$ - площадь n-угольника.
Интуитивно понятно, что минимальная площадь будет при правильном многоугольнике, как и понятно то, что в пределе площадь многоугольника будет стремиться к площади единичной окружности.
Но как показать это формально? Наверное, можно привязать каждую из сторон правильного многоугольника к углу и показать, что для при изменении угла(т.е. из неправильного многоугольника делают правильный) площадь будет больше, чем для правильного. Но это, опять же, только на пальцах.
Помогите, пожалуйста

[novichok2018]

Похоже такого многоугольника не существует. Площадь не может быть меньше площади круга, но может быть как угодно к нему близка, приближайте окружность хоть правильными, хоть неправильными.

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1465115 писал(а):

Похоже такого многоугольника не существует.

В задаче на минимум предполагается, что $n$ фиксировано.

-- Вт май 26, 2020 12:27:55 --

Juicer в сообщении #1465103 писал(а):

Наверное, можно привязать каждую из сторон правильного многоугольника к углу и показать, что для при изменении угла(т.е. из неправильного многоугольника делают правильный) площадь будет больше, чем для правильного.

Да, так и делается. Но при таком подходе требуется сначала доказать, что минимум существует. Это, с одной стороны, очевидно (из общих соображений), а с другой --- неэлементарно.

Это классическая задача, лучше найти ее решение где-нибудь в литературе.

[Евгений Машеров]

Площадь такого многоугольника будет равна половине произведения периметра на радиус. То есть надо доказать, что минимальный периметр у правильного многоугольника. Пусть две стороны различны...