Разбор доказательства кососимметричности определителя

[qwerty1917]

Пусть дана матрица А.

$A=\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{t1}&a_{t2}&\cdots&a_{tn}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\\end{matrix} $

Матрица А' получается путем перестановки строк t и s.

$A^\prime=\begin{matrix}a_{11}^\prime&a_{12}^\prime&\ldots&a_{1n}^\prime\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{s1}^\prime&a_{s2}^\prime&\cdots&a_{sn}^\prime\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{t1}^\prime&a_{t2}^\prime&\cdots&a_{tn}^\prime\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}^\prime&a_{n2}^\prime&\cdots&a_{nn}^\prime\\\end{matrix}$

Перестановка $\pi=\sigma\tau$, где $\tau = (t s)$
Тогда определитель матрицы А'

$\sum_{\pi\epsilon S_n}{\varepsilon_\pi a_{1,\pi1}^\prime\ldots\ a_{n,\pi n}^\prime}=\ \sum_{\sigma\epsilon S_n}{\varepsilon_{\sigma\tau}a_{1,\sigma\tau1}^\prime\ldots a_{s,\sigma\tau s}^\prime\ldots a_{t,\sigma\tau t}^\prime\ldots\ a_{n,\sigma\tau n}^\prime=}$

$=\sum_{\sigma\epsilon S_n}{\varepsilon_{\sigma\tau}a_{1,\sigma1}^\prime\ldots a_{s,\sigma t}^\prime\ldots a_{t,\sigma s}^\prime\ldots\ a_{n,\sigma n}^\prime=}$
Вот этот переход.
$=\ \sum_{\sigma\epsilon S_n}{\varepsilon_{\sigma\tau}a_{1,\sigma1}\ldots a_{t,\sigma t}\ldots a_{s,\sigma s}\ldots\ a_{n,\sigma n}^\prime=\ }$

$=-\sum_{\sigma\varepsilon S_n}{\varepsilon_\sigma a_{1,\sigma1}\ldots\ a_{n,\sigma n}}=-detA$

Доказательство переписал из учебника Кострикина книга 1.
Не могу понять переход, как из $a_{s,\sigma t}^\prime$ и $a_{t,\sigma s}^\prime$ получается $a_{t,\sigma t}$ и $a_{s,\sigma s}$

[Brukvalub]

Первый вопрос: в матрицах $A$ и $A'$ нет штрихованных элементов, откуда же они берутся в дальнейших выкладках?

[arseniiv]

qwerty1917 в сообщении #1465050 писал(а):

Не могу понять переход, как из $a_{s,\sigma t}^\prime$ и $a_{t,\sigma s}^\prime$ получается $a_{t,\sigma t}$ и $a_{s,\sigma s}$

По определению $A'$, если конечно $a'_{ij}$ — это её элементы.

[qwerty1917]

Исправил. Я понимаю что это один и тот же элемент, но как бы это обосновать. Под "по определению" имеется ввиду тоже самое ?

[Mikhail_K]

qwerty1917 в сообщении #1465055 писал(а):

Исправил

Боюсь, что это было зря. Если

qwerty1917 в сообщении #1465050 писал(а):

Матрица А' получается путем перестановки строк t и s

то в записи этой матрицы Вы зря добавили штрихи. При этом, вопрос

Brukvalub в сообщении #1465052 писал(а):

Первый вопрос: в матрицах $A$ и $A'$ нет штрихованных элементов, откуда же они берутся в дальнейших выкладках?

остаётся. Но это именно вопрос, а не призыв что-то исправлять.

-- 25.05.2020, 22:39 --

qwerty1917 в сообщении #1465055 писал(а):

Я понимаю что это один и тот же элемент, но как бы это обосновать.

Это не надо обосновывать. Если Вы вводите обозначение $a^\prime_{ij}$, то Вы сами определяете, что оно означает. Так вот, что оно должно означать? чтобы рассуждения были разумными.

[Brukvalub]

После исправлений стало совсем непонятно. Исходная и "переставленная" матрица состоят из одинакового набора элементов, а обозначения их элементов стали разными- со штрихами и без них?

[arseniiv]

qwerty1917 в сообщении #1465055 писал(а):

Под "по определению" имеется ввиду тоже самое ?

Да. Что по-вашему в терминах элементов $A$ и $A'$ значит, что по отношению к $A$ у $A'$ переставлены строки $s, t$? То собственно и значит, что $a_{ij} = a'_{(\tau i)j}$, где $\tau = (st)$. То есть в частности $a_{sj} = a'_{tj}$ и наоборот.

[artempalkin]

Но идею доказательства вы понимаете? Почему вообще меняется знак определителя, когда две строки поменять местами, если на пальцах, понятно?
Еще момент. Вам понятно, что $\tau i=i$ для любых $i\neq t,s$ и $\tau t=s$ и $\tau s = t$?

arseniiv в сообщении #1465066 писал(а):

где $\sigma = (st)$.

Только у него $\sigma$ - это те перестановки (все возможные), по которым ведется суммирование, а $\tau=(st)$ - это осуществленная перестановка строк.

-- 25.05.2020, 23:37 --

Brukvalub в сообщении #1465057 писал(а):

После исправлений стало совсем непонятно. Исходная и "переставленная" матрица состоят из одинакового набора элементов, а обозначения их элементов стали разными- со штрихами и без них?

Мне кажется, все понятно. В новой матрицы все элементы обозначаются со штрихами, при этом большинство из них равны соответствующим элементам без штрихов, кроме тех, которые находятся в двух "поменяных" строках.

[Brukvalub]

artempalkin в сообщении #1465069 писал(а):

Мне кажется, все понятно. В новой матрицы все элементы обозначаются со штрихами, при этом большинство из них равны соответствующим элементам без штрихов, кроме тех, которые находятся в двух "поменяных" строках.

А зачем в одном и том же тексте одни и те же элементы обозначаются двумя разными способами? Чтобы побольше туману нагнать?

[artempalkin]

Brukvalub в сообщении #1465072 писал(а):

А зачем в одном и том же тексте одни и те же элементы обозначаются двумя разными способами? Чтобы побольше туману нагнать?

Чтобы ясной была запись. Как бы вы тогда оформляли дальнейшую сумму? Часть элементов со штрихами, часть без? Или все элементы без штрихов, но в другом порядке? А если идея как раз в том, чтобы показать, что они будут в другом порядке? Тогда назвать их (временно) по-другому, а потом вернуть названия, указав на другой порядок. Мне кажется, это хороший ход :)

[arseniiv]

Brukvalub в сообщении #1465072 писал(а):

А зачем в одном и том же тексте одни и те же элементы обозначаются двумя разными способами? Чтобы побольше туману нагнать?

Я так понял, всё просто — у матрицы $A$ элементы $a_{ij}$, а у матрицы $A'$ — $a'_{ij}$, весьма логично. (Я бы подумал, что Кострикин это поясняет прямым текстом, хотя бы где-то в начале раздела о матрицах, просто учебник не был переписан сюда до буквы, но конечно может быть он положился и на читателя.) Плюс могло бы статься, что $A'$ получается какой-то уже произвольной перестановкой строк, и тогда в принципе можно было бы чуть удлинить доказательство, но штрихи у элементов стали бы намного более необходимыми, потому что в общем случае все они бы стали отличными от исходных.

[Brukvalub]

Обычно сначала переставляют две соседних строки, вот именно их и переобозначают, а уж потом переставляют две произвольных. Именно так Кострикин и доказывал нам это свойство определителя на лекциях.

[qwerty1917]

Перечитал учебник, походу в индексах запутался, когда матрицы рисовал, там просто матрицы сами не нарисованы, а сказано о перестановки 2-х строк. По поводу штрихов в матрице $A'$, в строках где замен не было тоже ставятся штрихи.
Нарисовал новые матрицы, надеюсь в этот раз согласуются с доказательством.
$A=\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{t1}&a_{t2}&\cdots&a_{tn}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\\end{matrix}$

$A^\prime=\begin{matrix}a_{11}^\prime&a_{12}^\prime&\ldots&a_{1n}^\prime\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{s1}^\prime&a_{s2}^\prime&\cdots&a_{sn}^\prime\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{t1}^\prime&a_{t2}^\prime&\cdots&a_{tn}^\prime\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}^\prime&a_{n2}^\prime&\cdots&a_{nn}^\prime\\\end{matrix}$

Где $a_{sj}^\prime$ = $a_{tj}$ j= 1,2...n
$a_{tj}^\prime$ = $a_{sj}$ j= 1,2...n

[nnosipov]

Brukvalub в сообщении #1465086 писал(а):

Обычно сначала переставляют две соседних строки

Соседние строки берут --- это когда доказывают формулу разложения определителя по строке, там соседство принципиально. А здесь-то зачем?

Или у Кострикина рекурсивное определение детерминанта (как раз через разложение по стороке/столбцу)? Давно не заглядывал.

Upd. Хотя нет, у Кострикина обычное, через сумму по всем перестановкам. Ну, тогда точно соседство строк не является важным.

[Brukvalub]

nnosipov в сообщении #1465179 писал(а):

А здесь-то зачем?

Чтобы упростить обозначения при изложении доказательства.