Гомоморфизм в общем смысле

[Qlin]

Пусть $f$ это гомоморфизм из множества $S$ с заданной на нём структурой в множество $F$ с соответствующей структурой.
В известной мне литературе сказано следующее:
Если речь идёт о полугруппах, от гомоморфизма требуется лишь сохранение операции $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$.
Если речь о моноидах, необходимо сохранение единицы: $f(1_S)=1_F$
Если моноид ещё и упорядочен, требуется сохранение порядка $a\leqslant b \longleftrightarrow f(a)\leqslant f(b)$

Но в литературе не сказано, какие ещё могут появиться дополнительные требования для тех или иных частных случаев. И существует ли единое общее определение гомоморфизмов между структурами любого типа, которое описывает все эти частные случаи.

[arseniiv]

Тут есть два ответа, оба правильные:

(1) Если перед нами алгебраические структуры или модели, в том смысле, что перед нами есть с каждой стороны по множеству и набору операций и отношений на нём, то морфизм определяется очень просто: он должен сохранять каждую операцию и каждое отношение, то есть $o(x_1,\ldots x_n) = y \Rightarrow o'(f(x_1),\ldots, f(x_n)) = f(y)$ и $r(x_1,\ldots, x_n) \Rightarrow r'(f(x_1),\ldots, f(x_n))$.

(1a) Если перед нами многосортные модели, то есть носителей несколько и операции и отношения могут иметь аргументы и результаты из всех этих носителей (лишь бы сигнатуры совпадали у сравниваемых моделей), то всё ровно так же за исключением того, что морфизм это теперь кортеж функций из каждого носителя одной структуры в соответствующий другой). Ещё можно добавить в качестве аргументов или результатов (в одних и тех же местах) какие-то посторонние множества, которые у каждой структуры данного типа должны всегда быть одни и те же. Определение опять же переносится совершенно так же, просто соответствующая часть морфизма считается постоянной функцией. (Можно применить например к векторным пространствам, и получатся линейные отображения.)

(2) Теория категорий определяет морфизмы для любых объектов соответствующей категории. Есть чисто категорные определения больших классов категорий, из которых может быть более-менее ясно, какими свойствами могут обладать морфизмы в отдельных категориях такого класса. А может быть неясно, но хотя бы теоркат агрегирует это всё из разнообразия математических объектов.

(3) Может статься, есть обобщения для (1) и (1a), например на топологические пространства и всякое такое, но я не искал и случайно на глаза тоже не попадалось. А вот для метрических пространств можно проверить (1a), считая $\mathbb R$ «вне досягаемости».

И по-моему такая тема уже была, и не задавали ли вы тот же вопрос раньше?..

-- Вт май 26, 2020 02:20:39 --

После групп, колец и всякого такого мне (1) и потом и (1a) вроде как-то сами пришли в голову, хотя какая-то книжка по логике подобное определение вроде давала (но если я что видел, то максимум (1)). Или это ошибка памяти, в любом случае странновато: неужели в голову идеи не приходили совсем?..

[Qlin]

arseniiv в сообщении #1465088 писал(а):

он должен сохранять каждую операцию и каждое отношение, то есть $o(x_1,\ldots x_n) = y \Leftrightarrow o'(f(x_1),\ldots, f(x_n)) = f(y)$ и $r(x_1,\ldots, x_n) \Leftrightarrow r'(f(x_1),\ldots, f(x_n))$.

Полугрупповой гомоморфизм между моноидами сохраняет операцию, но не обязательно сохраняет единицу.

[arseniiv]

Ну правильно, потому что единица тоже операция, для неё тоже потребуется $e() = y \Rightarrow f(e'()) = f(y)$ для гомоморфизма моноидов.

Что-то я выше двойных стрелок наставил, переделаю в одинарные. ✓

[Qlin]

arseniiv в сообщении #1465100 писал(а):

единица тоже операция

В каком плане она операция, где и как она задана ?

И вообще, в данном определении

arseniiv в сообщении #1465088 писал(а):

Если перед нами алгебраические структуры или модели, в том смысле, что перед нами есть с каждой стороны по множеству и набору операций и отношений на нём, то морфизм определяется очень просто: он должен сохранять каждую операцию и каждое отношение, то есть $o(x_1,\ldots x_n) = y \Rightarrow o'(f(x_1),\ldots, f(x_n)) = f(y)$ и $r(x_1,\ldots, x_n) \Rightarrow r'(f(x_1),\ldots, f(x_n))$.

необходимо уточнить, идёт ли речь только о сигнатурных операциях и отношениях, или речь идёт ещё о каких-то операциях и отношениях, которые где-то как-то дополнительно задаются ? Какие ограничения на $o,r,o'$ и $r'$ ?

[arseniiv]

Qlin в сообщении #1465101 писал(а):

В каком плане она операция, где и как она задана ?

В обычном. Операция на $A$ — это функция $A^n\to A$, где $n$ как правило натуральное число, и в том числе например ноль. Для любого $A$, $A^0$ — одноэлементное подмножество, состоящее из пустого кортежа, и каждая функция $f\in \{()\}\to A$ взаимно однозначно соответствует элементу $f()\in A$, так что все константы, требуемые от алгебраической системы, нормально считать видом операций.

Qlin в сообщении #1465101 писал(а):

необходимо уточнить, идёт ли речь только о сигнатурных операциях и отношениях, или речь идёт ещё о каких-то операциях и отношениях, которые где-то как-то дополнительно задаются ?

Только о сигнатурных, ведь только то, что соответствует кусочку сигнатуры, «в наличии» в соответствующей алгебраической системе.

Qlin в сообщении #1465101 писал(а):

Какие ограничения на $o,r,o'$ и $r'$ ?

Только аксиомы соответствующей системы, ну и соответствие сигнатуре — столько-то аргументов, и из правильных множеств в правильное/ые (если система многосортная, и да, я забыл помянуть обобщение на кортежи результатов вместо одинарного; это снова ничему не мешает, потому что любой операции соответствует функциональное отношение).

-- Вт май 26, 2020 04:29:59 --

Если всё слишком сокращённо и плохо восстанавливается, так уж и быть я попробую завтра выписать случай (1a), но всё-таки выписывание довольно тривиальное, особенно если выбрать формализацию удачно.

[Qlin]

arseniiv, я вот к чему: аксиоматика моноидов и аксиоматика полугрупп могут формулироваться в одном и том же языке. При этом сигнатура одна и та же. Никаких операций (в том числе констант) у нас в распоряжении нет, кроме одной единственной полугрупповой операции. Утверждение $\exists e \forall x \ e\cdot x=x\cdot e=x$ не содержит никаких функциональных символов (в том числе константных), кроме символа $\cdot $ . Всё различие сводится к тому, что для полугрупп это независимое утверждение, а для моноидов — аксиома. С этой точки зрения вы дополнительно определяете единицу, как операцию. Но тогда можно было бы доопределить ещё несколько операций и отношений и потребовать, чтобы они тоже сохранялись при гомоморфизмах, и этим окончательно добить "определение".

Но если в сигнатуре присутствует какой-нибудь символ $1$, то аксиома нейтрального элемента приобретает вид $\forall x \ 1\cdot x=x\cdot 1=x$, и вышеописанных проблем не возникает.

[bot]

Вы невнимательно читали, что писал arseniiv.

Qlin в сообщении #1465106 писал(а):

аксиоматика моноидов и аксиоматика полугрупп могут формулироваться в одном и том же языке

Язык один, да. Русский язык тоже один, а выражаемых им объектов много, естественно ожидать, что описываться они будут по разному. Полугруппа определяется как множество с одной ассоциативной бинарной операцией, а моноид - как полугруппа с обязательной единицей. Языков много, но все известные языки (английский, немецкий, etc., а может быть и неизвестные) говорят одно и то же.
Разница есть - сигнатуры разные и эта разница тянет за собой другие разницы. Одно дело говорить об одной полугруппе, а другое о классе.
Класс всех полугрупп образует многообразие - это класс всех ассоциативных группоидов. Индивидуальная полугруппа из этого класса может внезапно иметь единицу, а другая - не иметь. Например, множество натуральных чисел относительно обычного умножения и множество чётных чисел относительно этой же операции.
Класс всех моноидов - тоже многообразие, тут сигнатура даже другая, операции две: одна бинарная (ассоциативная), другая нульарная (она выделяет особый элемент - единицу).
Говоря о гомоморфизмах в этих классах вот об этой разнице - сигнатуре, не следует забывать. Гомоморфизм должон сохранять все операции, в классе полугрупп - одну бинарную, в классе моноидов - две.

Пример. Рассмотрим операцию $x\cdot y=\max\{x,y\}$ на множестве натуральных чисел. Получим полугруппу. Отображение $x\to x+1$ будет гомоморфизмом этой полугруппы в себя.
Это же отображение, рассмотренное в классе моноидов, уже не будет гомоморфизмом.
И опять, это отображение будет гомоморфизмом (и даже изоморфизмом) моноида $\langle \mathbb N, \max, 1 \rangle$ на моноид $\langle \mathbb N+1, \max,2\rangle$

[arseniiv]

Qlin в сообщении #1465106 писал(а):

я вот к чему: аксиоматика моноидов и аксиоматика полугрупп могут формулироваться в одном и том же языке. При этом сигнатура одна и та же. Никаких операций (в том числе констант) у нас в распоряжении нет, кроме одной единственной полугрупповой операции. Утверждение $\exists e \forall x \ e\cdot x=x\cdot e=x$ не содержит никаких функциональных символов (в том числе константных), кроме символа $\cdot $ . Всё различие сводится к тому, что для полугрупп это независимое утверждение, а для моноидов — аксиома.

Ну если мы моноид определяем, не внося $e$ в сигнатуру, то печально, конечно. Тогда можно отобразить весь первый моноид в любой идемпотент второго, не являющийся нейтральным, и это действительно всё ломает.

С этим однако нетрудно разобраться, ограничив возможный вид аксиом (никаких $\forall\vec x.\;\exists y.\;\varphi$, всё переделать в операции; плюс может что-то ещё потребоваться). Выражаясь категорным языком, $e$ относится к структуре, а отнюдь не к свойствам*, и вполне разумно требование все данные держать в сигнатуре (а свойства требовать аксиомами). Или могут быть ещё подходы.

* Ср. с абелевыми группами и группами — любой морфизм групп будет морфизмом и абелевых групп, если эти группы абелевы; потому кстати вы нигде не найдёте отдельного определения морфизма для специфически абелевых групп, но действительно находите отдельное определение морфизма моноидов.

Qlin в сообщении #1465106 писал(а):

Но тогда можно было бы доопределить ещё несколько операций и отношений и потребовать, чтобы они тоже сохранялись при гомоморфизмах, и этим окончательно добить "определение".

Пока мы просто добавляем в сигнатуру какие-то штуки, не снабжая их аксиомами, это ещё куда ни шло, но если мы будем связывать их со старыми частями, то мы действительно можем добиться аналогичного тому, что выходит при переходе от полугрупп к моноидам — нельзя на полугруппе «определить дополнительно» нейтральный элемент, можно его иметь (и тут сравнение в другую сторону: к любому векторному пространству можно например приделать симметричную невырожденную билинейную форму, несмотря на то что её аксиомы используют и $+$, и $\cdot$, чтобы хотя бы выразить билинейность).

bot в сообщении #1465190 писал(а):

другая нульарная (она выделяет особый элемент - единицу)

ТС говорит о (не)хитром определении моноида, позволяемом логикой первого порядка, где операция в сигнатуре только одна, а существование нейтрального элемента — это часть аксиомы, а не утверждение о том, что в сигнатуру входит и символ для него. Тогда действительно неудобно получается ($e$ может вполне переходить в какой-то другой идемпотентный), но с учётом того, что я не видел ни одного человека, который бы что-то делал с моноидами и при этом упорно не вводил константу для $e$, я бы посчитал такие определения с экзистенциальной аксиомой не очень-то честными и как выше предложил бы их исключить из рассмотрения.

Правда может ещё какой-нибудь казус вылезти (который логики скорее всего уже давно поймали, но другим особо не рассказывали, и про который я может быть даже сам где-то читал, но сейчас забыл), но когда вылезет, тогда и подумаем.

[george66]

Есть достаточно общее понятие "алгебраическая система", под которое подходят и моноиды, и группы, и кольца, и поля, и упорядоченные множества и т.д. Но не топологические пространства. Есть категорный подход, когда структуру вообще не описывают, а понятие гомоморфизм принимают за основное (выписывают простые аксиомы для композиции, затем изучают, какую часть структуры можно восстановить, зная гомоморфизмы).