Показать выполнение неравенства и когда оно обращается в рав

[Juicer]

Дан набор чисел $a_1, ..., a_n, \; a_i \geq 0 \; \forall i = 1, ..., n.$ Обозначим наибольшее из этих чисел как $a$.
Как показать, что $\dfrac{a_1^2 + ... + a_n^2}{n} \leq \Big(\dfrac{a_1 + ... + a_n}{n} \Big)^2 + \dfrac{a^2}{4}$ выполняется? И когда оно обращается в равенство?
Уже и пробовал неравенство Коши использовать, и просто как-то разбить дроби, сложить - никак.
Может кто-то знает, как решить?

[nnosipov]

Juicer в сообщении #1464727 писал(а):

Может кто-то знает, как решить?

Да вроде бы почти очевидно. Подсказка: умножьте обе части на $n$, после чего минимизируйте правую часть по $n$.

[Juicer]

nnosipov в сообщении #1464730 писал(а):

Да вроде бы почти очевидно

всё равно не вижу
Возможно, вы предлагаете мне справиться с этой задачей с помощью производной - этого нельзя делать, нужно только неравенствами/заменами

[nnosipov]

Не надо никакой производной. После умножения на $n$ примените к правой части неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

[Markiyan Hirnyk]

nnosipov
Неочевидно: минимизируется на множестве натуральных чисел. Далее, почему результат минимизации равен $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2$? Вычисления показывают, что при $n=3$ в случае равенства все $a_k$ равны нулю.

[nnosipov]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1464735 писал(а):

Далее, почему результат минимизации равен $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2$?

Это Вы себя спросите. Я такого не утверждал.

[Markiyan Hirnyk]

nnosipov
Уточню вопрос. Почему больше или равен, чем это выражение? И как все-таки с минимизацией на натуральных числах?

[nnosipov]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1464735 писал(а):

Неочевидно: минимизируется на множестве натуральных чисел.

А вот мне захотелось на множестве всех положительных $n$ минимизировать. Что, нельзя?

-- Вс май 24, 2020 00:51:47 --

Markiyan Hirnyk в сообщении #1464738 писал(а):

Почему больше или равен, чем это выражение?

Ну, подумайте. Почему вот все должно быть так сразу?

[Markiyan Hirnyk]

nnosipov В ожидании конструктивного ответа от Вас.

[nnosipov]

Markiyan Hirnyk
Что-то Вам объяснять --- это не моя забота. Вот ТС объясню, если попросит.

[Juicer]

nnosipov в сообщении #1464743 писал(а):

Вот ТС объясню, если попросит

нет, спасибо, после использования AM-GM всё вышло.
Да, что-то я не догадался просто к правой части его применить

[nnosipov]

Juicer
На здоровье.

[Juicer]

nnosipov в сообщении #1464745 писал(а):

На здоровье.

хотя ещё один вопрос:
обращаться в равенство неравенство будет, когда $\dfrac{(a_1 + ... + a_n)^2}{n} = \dfrac{na^2}{4}$?

-- 23.05.2020, 22:16 --

Или другими словами, упрощая и выражая $a$ (только его и можем получить):

$$2(a_1 + ...+a_{i-1} + a + a_{i+1} + ... + a_n) = na \Rightarrow a = \dfrac{2(a_1 + ...+a_{i - 1} + a_{i + 1} + ...+ a_n)}{n-2}$$

[nnosipov]

Не только. Там ведь два неравенства (которые оба должны обратиться в равенство). Проанализируйте это аккуратно. (Тонкость в том, что некоторые из $a_i$ могут быть нулями.)

И, кстати, среди $a_i$ может быть несколько таких, которые равны $a$.

[TOTAL]

$\dfrac{a_1^2 + ... + a_n^2}{n} \leq \dfrac{a(a_1 + ... + a_n)}{n} + \left( \dfrac{a_1 + ... + a_n}{n} - \dfrac{a}{2} \right)^2$
Для победы достаточно первого слагаемого справа