Самосопряжённые операторы коммутируют => имеют общий ОНБ

[acon]

Нужно доказать, что два самосопряжённых оператора в евклидовом пространстве коммутируют тогда и только тогда, когда они имеют общий ОНБ из собственных векторов.

В одну сторону вроде понятно: если есть базис из собственных векторов, то тогда обе матрицы одновременно диагонализируемы, и поэтому коммутируют.

В другую можно попытаться делать так: пусть $v_0$ - собств. вектор. Тогда $\psi(v_0) = \lambda \cdot v_0, \labmda$ - собств. значение. $\varphi(\psi(v_0)) = \varphi(\lambda v_0) = \lambda \varphi(v_0) = \psi \varphi(v_0)$, последнее потому что коммутируют. Получили, что $\varphi(v_0)$ - тоже собственный вектор c тем же собств. значением $\lambda$. То же самое можно проделать с заменой $\varphi$ и $\psi$ Дальше не знаю, что делать.

[Red_Herring]

Покажите, что если $A$ и $B$, то $A$ переводит любое собственное подпространство $B$ в себя (и выберите в это с.пп. базис из собственных векторов $A$).

[acon]

Red_Herring
Спасибо за ответ, но не могли бы вы пояснить?

Пусть U - собственное подпространство B (пишу в ваших обозначениях, хотя вы наверное имели в виду матрицы, мне удобнее в операторах).
Тогда $B(A(U)) = A(B(U))$, а B(U) $\subset$ U (так как инв. подпространство).
Обозначим B(U) как $U_<$, чтобы подчеркнуть, что оно не превосходит U.
Тогда $A(U_<) \subset A(U) \Rightarrow B(A(U_<)) \subset A(U_<)$ - инв. подпространство B.

Вы это имели в виду?
А как базис выбрать?

[adfg]

acon
Рассм базис собств векторов оператора B. Тогда если x,y - два его собств вектора, отвечающих различ собств числам, то они ортогональны. Легко показать (используя коммутативность самосопряжённых), что тогда A(x) также ортогонален y, то есть лежит в том же собств подпространстве оператора B, что и x. То есть действие A в данном базисе распадается в прямую сумму действующих на ортогональных подпространствах операторов.

Далее рассм подпр-во собств векторов оператора B, отвечающее одному собств числу. В нём оператор B очевидно диагональный, так как любой вектор для него - собственный. Но оператор A самосопряжён, поэтому диагонализируем, то есть для него в этом подпр-ве найдётся базис, в котором он также имеет диагональный вид

[Red_Herring]

acon в сообщении #1464608 писал(а):

хотя вы наверное имели в виду матрицы,

Ясновидящий из вас так себе.

Пусть $U$ собственное подпространство $A$, (состоящеее из всех с.в. с одним и тем же с.з.). Тогда $U$ евклидово, и $B: U\to U$. И $B|_U$ эрмитов. Значит, в $U$ существует базис с.в. $B|_U$, которые тем самым являются и с.в. и $B$, и $A$. И если есть несколько коммутирующих эрмитовых операторов, то продолжая можно показать, что у них есть совместный базис из с.в.

[SomePupil]

acon в сообщении #1464608 писал(а):

Тогда $B(A(U)) = A(B(U))$, а B(U) $\subset$ U (так как инв. подпространство).

Попробуйте не целиком с $U$ работать, а с $v \in U.$