Задачи из книги Garrity Algebraic Geometry

[X0rist]

nnosipov в сообщении #1463643 писал(а):

X0rist в сообщении #1463632 писал(а):

Я запутался, объясните!

А для обычной окружности $x^2+y^2=1$ в $\mathbb{R}^2$ Вы понимаете, как точки $(\pm 1,0)$ соединить непрерывным путем? Это ведь совсем элементарная задачка для школьников. (А на алгебро-геометрическом направлении должны были научить и рациональной параметризации окружности, хотя здесь это и необязательно знать.)

Да. С рациональной параметризацией тоже понятно. Если есть одна рациональная точка на окружности, то через нее можно провести прямую с угловым коэффициентом $k$, которая пересечет окружность в другой точке $(x, y)$. Используя уравнение прямой, проходящей через первую рациональную точку, мы можем выразить координаты второй точки через угловой коэффициент $k$ и получить пифагоровы тройки. Я хочу заполнить пробелы в знаниях, потому что местами мне не хватает чего-то элементарного.

[nnosipov]

X0rist в сообщении #1463645 писал(а):

Да. С рациональной параметризацией тоже понятно.

Ну, тогда не вижу причин, не позволяющих Вам аккуратно решить этот экзерсис. Книга, судя по всему, серьезная, а эти упражнения даны, наверное, для того, чтобы читатель расслабился и почувствовал, что хоть что-то понимает.

[X0rist]

nnosipov в сообщении #1463643 писал(а):

X0rist в сообщении #1463632 писал(а):

Я запутался, объясните!

А для обычной окружности $x^2+y^2=1$ в $\mathbb{R}^2$ Вы понимаете, как точки $(\pm 1,0)$ соединить непрерывным путем? Это ведь совсем элементарная задачка для школьников. (А на алгебро-геометрическом направлении должны были научить и рациональной параметризации окружности, хотя здесь это и необязательно знать.)

Я хочу представить, как выглядит эта кривая $V(x^2-y^2-1) \subset C^2$. Насколько я понимаю, точки $(x, y)$ на этой кривой выглядят не как точки в $R^2$, например, $(1, 0)$. Здесь $x, y$ это комплексные числа и точка на этой кривой может выглядеть как $(1 +\frac{1}{3}i, \frac{1}{4} + \frac{1}{2}i)$, разумеется, я не привел на точный пример. Я прав?

[nnosipov]

X0rist в сообщении #1463645 писал(а):

Я хочу заполнить пробелы в знаниях, потому что местами мне не хватает чего-то элементарного.

Почитайте между делом брошюрки из серии "Библиотека Математического просвещения". Авторы солидные, темы интересные (на мой вкус). Хуже точно не будет.

-- Пн май 18, 2020 21:36:07 --

X0rist в сообщении #1463648 писал(а):

Я хочу представить, как выглядит эта кривая $V(x^2-y^2-1) \subset C^2$.

Отложите это на потом. Это сложно --- представить (вещественно) двумерную хрень в 4-мерном вещественном пространстве. Руками, во всяком случае, не потрогаешь. Решите сначала упражнение как таковое.

[X0rist]

На мой взгляд, "показать", что существует непрерывный путь между этими точками, можно, взяв $x \in R, y = ip$, где $p$ - точка на вертикальной оси $y$ и показав, что у нас получается единичная окружность $x^2 + p^2=1$, связывающая эти точки. Строгое решение не требуется, чтобы читатель почувствовал, что хоть что-то понимает :)
Книга в самом деле серьезная, в конце доходят до пучков
За Библиотеку математического просвещения спасибо

[nnosipov]

X0rist в сообщении #1463653 писал(а):

Строгое решение не требуется, чтобы читатель почувствовал, что хоть что-то понимает :)

На экзамене/зачете могут заставить написать, а так да, конечно. Явление-то простое --- плюсы/минусы над полем комплексных чисел не важны. Из линейной алгебры это уже известно: классификация квадратичных форм над $\mathbb{C}$ проще, чем над $\mathbb{R}$.

[vpb]

X0rist в сообщении #1463632 писал(а):

С другой стороны, у нас на парах по ТФКП преподаватель тоже рисовал окружности в комплексном пространстве и интегрировал вдоль плоских путей, но там были функции одной комплексной переменной $z = x + iy$. А судя по условию задаче, моя коника находится в $C^2$ и переменные $x, y$ это полноценные комплексные числа вида $a + ib$. Я запутался, объясните!

Ну, уж если учились 5 лет назад на "алгебро-геометрическом направлении" и путаетесь в таких вещах ... это смущает. Ну ладно. Слова "комплексная плоскость" можно понимать двумя способами. Или (1) множество ${\mathbb C}$, которое можно изображать обычной действительной плоскостью ${\mathbb R}^2$ ; а над ${\mathbb C}$, т.е. как векторное пространство над ${\mathbb C}$, оно одномерно; (2) множество ${\mathbb C}^2={\mathbb C}\times{\mathbb C}$, т.е. множество всех пар $(a,b)$, где $a,b\in{\mathbb C}$. Оно как векторное пространство над ${\mathbb C}$ двумерно, а как вещественное пространство --- четырехмерно. Полезно иметь в виду, что есть такая двусмысленность языка.

-- 18.05.2020, 20:46 --

Теперь смотрите. ${\mathbb C}^2$ --- это четырехмерное пространство. $x=x_1+x_2i$, $y=y_1+y_2i$. Условие $x^2-y^2=1$ --- это на самом деле два условия на $x_1$, $x_2$, $y_1$, $y_2$ : одно --- что действительная часть $x^2-y^2-1$ равна нулю, а второе --- что мнимая. Значит, как подмножество в ${\mathbb R}^4$ оно задается двумя уравнениями, значит двумерно, значит поверхность.

Книжка Гаррити хорошая, по виду. Я её сам несколько раз на форуме рекомендовал.

Так все-таки интересно, ангем у вас был или нет ?

[X0rist]

vpb, спасибо за интересный ответ. Да, ангем был. И я учился 3.5 года, а не 5 на криптографической специальности, где алгебраическая геометрия была нужна для теоретической основы криптосистем и систем обмена ключами. Ангем, теория чисел, алгебраическая теория чисел, ТФКП были, но когда, например, на предмете, представлявшем собой окрошку из ТФКП и дифференциальной геометрии нам рассказывали про гомологии и касательные пространства, я уже ничего не понимал, и безуспешно пытался представить, как выглядят классы $m/m^2$

[X0rist]

Еще интересная задача. Показать, что если $x=u, y=iv$, тогда окружность $$\left\lbrace (x, y) \in C^2: x^2 + y^2 = 1\right\rbrace$ трансформируется в гиперболу $\left\lbrace (u, v) \in C^2: u^2 - v^2 = 1\right\rbrace$$

Это показывается тривиально подстановкой выражений для $x$ и $y$ в первый многочлен, но почему так происходит? Мораль этой задачи в том, что в комплексной плоскости можно так подобрать замену координат, что окружность становится гипреболой? Почему здесь возможно то, что невозможно в действительных числах?

И еще задача по замене координат: найти такую замену координат, при которой гипербола $V(xy-1)$ над $R^2$ переходит в гиперболу $u^2 - v^2 - 1$. Какой общий принцип решения таких задач? Я решил один такой пример, интуитивно подобрав замену, но меня интересует решение в общем виде, позволяющее универсально подбирать замену координат.

[Slav-27]

X0rist в сообщении #1464413 писал(а):

Мораль этой задачи в том, что в комплексной плоскости можно так подобрать замену координат, что окружность становится гипреболой?

По-моему, мораль этой задачи в том, что на $\mathbb R^2$ есть 3 вида невырожденных квадратичных форм (сигнатуры $++, +-, --$), а на $\mathbb C^2$ только один.

Ключевые слова про дальнейшее -- "приведение вещественных квадратичных форм к каноническому виду", есть простые алгоритмы.