Матожидание

[Juicer]

Есть последовательность случайных величин $X_j \sim \mathcal{N}(0, 1).$ Лёг на простом вопросе:
Как сосчитать матожидание

$$\mathbb{E}e^{\sum_{k = 1}^n X_k - an}?$$

И можно ли просто "протащить" его через экспоненту? В принципе, мне нужно показать только существование, но заинтересовал и такой вопрос.

[Евгений Машеров]

Сумма нормальных величин - нормально распределена. А дальше см. логнормальное распределение.

[Otta]

Juicer
Информации для вычисления маловато. Независимость есть? если нет, еще что-то известно? $a$ - это просто левая константа?

[Juicer]

Otta в сообщении #1464289 писал(а):

Независимость есть

да, величины независимы.

Otta в сообщении #1464289 писал(а):

$a$ - это просто левая константа?

$а$- просто константа

-- 21.05.2020, 14:26 --

Евгений Машеров в сообщении #1464287 писал(а):

см. логнормальное распределение

занимательно, а что делать с константой $-an$?

-- 21.05.2020, 14:30 --

Где я брал задачу, есть похожая: всё то же самое, величины $X_1, ..., X_n$ независимы, нужно найти матожидание $Q_n = e^{\sum_{k = 1}^n X_j - an}$, только уже величины $X_1, ..., X_n$ распределены по пуассоновскому закону :$ \sim Poisson(1)$.
Вот что делать в этом случае тогда?

(Оффтоп)

Вообще задание на то, чтобы доказать мартингальность случайного процесса

[Otta]

Juicer в сообщении #1464358 писал(а):

занимательно, а что делать с константой $-an$?

Ничего. Представьте экспоненту в виде множителей, дальше (с учетом независимости) все очевидно.
Что-то уже хочется услышать от Вас теперь. Содержательного :)

[Евгений Машеров]

Juicer в сообщении #1464358 писал(а):

занимательно, а что делать с константой $-an$?

Представить экспоненту от суммы в виде произведения экспонент (двух, у одной наверху сумма иксов, у другой константа), вынести общий множитель и...

[Juicer]

Otta в сообщении #1464359 писал(а):

Что-то уже хочется услышать от Вас теперь.

(Оффтоп)

Да, конечно, когда я в прошлый раз думал над задачей, я пометил себе в голове, что "по свойствам степени выносится", видимо, надо отдыхать...

Так, получается:

$$\mathbb{E}e^{\sum_{k = 1}^n X_k - an} = e^{-an}\mathbb{E}e^{\sum_{k = 1}^n X_k}.$$

Если перейти к логнормальному распределению: $X_j \sim \mathcal{N}(0, 1)\Rightarrow S_n = \sum_{j = 1}^n X_j\sim \mathcal{N}(0, 1) \Rightarrow Y_n = \exp(S_n) \sim LogN(0, 1)$ $ \Rightarrow \mathbb{E}Y_n =\sqrt{e}.$
Тогда искомое матожидание равно $e^{1/2 - an}.$

[--mS--]

Это как это - каждое слагаемое стандартное нормальное, и сумма тоже?

[Juicer]

--mS-- в сообщении #1464375 писал(а):

каждое слагаемое стандартное нормальное, и сумма тоже

С дисперсиями не то написал:

$$X_j \sim \mathcal{N}(0, 1)\Rightarrow S_n = \sum_{j = 1}^n X_j\sim \mathcal{N}(0, n) $$

[Евгений Машеров]

--mS-- в сообщении #1464375 писал(а):

Это как это - каждое слагаемое стандартное нормальное, и сумма тоже?

(Оффтоп)

Некошерно! В смысле - не Коши!

[Markiyan Hirnyk]

Вычисления в Мэйпле подтверждают несколько иную формулу для математического ожидания $e^{n(\frac 1 2 -a)}$.

[Евгений Машеров]

Правильно подтверждают. Смотря на логнормальное распределение и его матожидание.

[--mS--]

Лучше всё же смотреть на производящую функцию моментов https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_di ... _functions

А вообще, сколько дивного можно сделать из примитивной задачи по вычислению $\mathsf Ee^{X_1}$... Вычисления в мапле, логнормальное распределение, MGF, ...

[Juicer]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1464487 писал(а):

иную формулу

ну так конечно, вкупе с моим последним комментарием изменяется не только дисперсии у $S_n$, но и у $Y_n$