Является ли гомоморфным отображение?

[Helen98]

Привет, можете помочь с ещё одной задачей?
Является ли гомоморфным отображением группы $(\mathbb{Z}\mathbin{/}{4\mathbb{Z},+)}$ в группу ($\mathbb{Z},+$) отображение $\varphi$, при котором $\varphi(\bar{0})=0$, $\varphi(\bar{1})=1$ ?

Я решила,и у меня получается одно отображение $\varphi(\bar{1})=0$. Могу ли я сказать, что это отображение не является гомоморфизмом ?

[iou]

Это и отображением не является. Решение, вероятно, правильно. Ответ такой, что гомоморфизмов из циклической конечной группы в бесконечную циклическую нет (кроме тривиального).

[Helen98]

iou в сообщении #1464019 писал(а):

Это и отображением не является. Решение, вероятно, правильно. Ответ такой, что гомоморфизмов из циклической конечной группы в бесконечную циклическую нет (кроме тривиального).

Объясните ,пожалуйста ,насчет бесконечной циклической группы

[iou]

Helen98
Любая бесконечная циклическая группа изоморфна $\mathbb{Z}.$ Что значит задать ненулевой морфизм из $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ в $\mathbb{Z}$? Первая группа накрывается $\mathbb{Z}$ с ядром $n \mathbb{Z},$ поэтому задать такой морфизм это значит задать морфизм $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, который зануляется на ядре накрывающего отображения, то есть на $n \mathbb{Z}$. Но любой такой $f$ инъективен.

[Helen98]

iou в сообщении #1464023 писал(а):

Helen98
Любая бесконечная циклическая группа изоморфна $\mathbb{Z}.$ Что значит задать ненулевой морфизм из $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ в $\mathbb{Z}$? Первая группа накрывается $\mathbb{Z}$ с ядром $n \mathbb{Z},$ поэтому задать такой морфизм это значит задать морфизм $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, который зануляется на ядре накрывающего отображения, то есть на $n \mathbb{Z}$. Но любой такой $f$ инъективен.

Спасибо, попытаюсь разобраться