Стационарность процесса в узком смысле

[Juicer]

Есть случайный процесс $X(t) = A \cos(at + \varphi), t \in \mathbb{R}&, где $ A \geq 0, \varphi \sim U[0, 2\pi)$ - независимые случайные величины. Нужно показать, что процесс стационарен в узком смысле (то есть распределения векторов $(X(t_1), ..., X(t_n))$ и $(X(t_1 + h), ..., X(t_n + h) )$ одинаковы $\forall h, n$.
С чего здесь можно начать? Я попробовал просто выписать приращение и записать функцию распределения, но мне это, в принципе, ничего не дало

[ShMaxG]

Попробуйте сначала решить задачу в случае, когда $A,a$ это какие-то числа, а не случайные величины. Напишите функцию распределения для исходного вектора и для вектора, где сдвиг на $h$. Вы получите что-то типа $\mathbb{P}(\varphi \in I)$ и $\mathbb{P}(\varphi \in I_h)$, где $I,I_h$ -- это какие-то множества, подумайте какие, как они связаны между собой. Ну и поймите потом, почему эти вероятности равны, тут нужно существенно воспользоваться тем, что $\varphi$ имеет равномерное распределение. А перейти к случаю, когда $A,a$ это случайные величины не сложно, формула полной вероятности.

[Juicer]

ShMaxG в сообщении #1463654 писал(а):

Попробуйте сначала

хм... Функции распределений такие получились:
$F_{X(t)}(x) := \mathbb{P}(X(t_1) \leq x_1, ..., X(t_n) \leq x_n)$ и $F_{X(t + h)}(x) := \mathbb{P}(X(t_1) \leq x_1, ..., X(t_n) \leq x_n).$
Рассмотрим какую-нибудь одну, например, без приращений: $\mathbb{P}(A \cos(at_1 + \varphi ) \leq x_1, ..., A \cos(at_n + \varphi)\leq x_n).$ Это выполняется, когда $\mathbb{P}(\varphi \leq \min \{ \arccos (\frac{x_1}{A}) - at_1, ..., \arccos(\frac{x_n}{A}) -at_n \})$
Так же? Или в дебри зашёл?

[ShMaxG]

Juicer
Ну примерно да. Выражение для $\varphi$ очень странное, но главное это то, что $\varphi$ принадлежит какому-то конечному множеству интервалов на $[0,2\pi]$. Из этого и исходите.

[Juicer]

ShMaxG в сообщении #1463867 писал(а):

Ну примерно да.

Ну я что сделал, просто для каждого из неравенств последовательно применил обратные операции для левой части, чтобы выразить однозначно $\varphi$. Это выполняется тогда и только тогда, когда $\varphi$ меньше либо равно минимума из всех таких полученных переменных.
Ну я как-то интуитивно понимаю, что это множество - отрезок $[-1, 1]$ из-за косинуса, а вот строгих обоснований найти не могу.

[_hum_]

Juicer
ИМХО, лучше не искать конкретных распределений, а рассмотреть общую форму для распределения с учетом приращения $h$:

$$\mathbb{P}(A \cos(at_1 + (ah + \varphi) ) \leq x_1, ..., A \cos(at_n + (ah + \varphi))\leq x_n),$$

и обратить внимание на новую начальную фазу $\varphi' = (ah + \varphi) \mod 2 \pi$. Что можно сказать об этой случайной величине?

[Juicer]

_hum_ в сообщении #1463901 писал(а):

Что можно сказать об этой случайной величине?

при $h = t_i$ она такая же, как и в $X(t)$ под знаком $\cos$?

[_hum_]

Juicer
во-первых, вычислите распределение вероятностей с.в. $\varphi' = (ah + \varphi) \mod 2 \pi$ при любых $h$.
во-вторых, посмотрите тему "эквивалентные случайные величины"

[Juicer]

_hum_ в сообщении #1463913 писал(а):

во-первых, вычислите распределение вероятностей с.в.

а как я могу это сделать? ну вот я получил функцию распределения, а что дальше?

_hum_ в сообщении #1463913 писал(а):

во-вторых, посмотрите тему "эквивалентные случайные величины"

Посмотрел, основная теорема - это то, что две случайные величины $\eta, \xi$, определённые на одном и том же вероятностном пространстве, равны тогда и только тогда, когда $\mathbb{P}(\eta \neq \xi) = 0$

[_hum_]

Juicer в сообщении #1463963 писал(а):

а как я могу это сделать? ну вот я получил функцию распределения, а что дальше?

То есть, вы решили задачу:
пусть $ \varphi \sim U[0, 2\pi)$. Найти распределение с.в. $\varphi' = (c + \varphi) \mod 2 \pi$, где $c$ - произвольная константа ? Если да, то сравните распределения $\varphi$ и $ \varphi'$ и переходите ко второму этапу (см. ниже).

Насчет эквивалентности, я имел в виду эквивалентность с.в. по распределению ("equality in distribution").