ДУ и равносильность преобразований

[deep blue]

В книге дается несколько однотипных задач, решаемых схожим образом. Вот одна из них:

Составить ДУ семейства кривых $x^2+y^2+cx=0 \forall c\in \mathbb{R}$. Решение:
Возьмем производную от уравнения и получим ДУ
$2x+2yy'+c=0 \forall c\in \mathbb{R}$
для каждого постоянного с, подставим $c=-2x-2yy'$ в исходное уравнение и получим ответ:
$x^2+y^2+(-2x-2yy')x=0$
Вопрос: Почему мы не делаем проверку что это ДУ описывает только те кривые семейства $x^2+y^2+cx=0 \forall c\in \mathbb{R}$ для которых $c= const$. Вдруг оно описывает дополнительно кривые $x^2+y^2+cx=0$ где $c\neq const$? Нужна ли такая проверка априори?

Поскольку меня интересует вопрос в общем, попробую немного обобщить пример:
Составить ДУ семейства кривых $f(x,y,c)=0 \forall c\in \mathbb{R}$. Решение:
Возьмем производную от уравнения и получим ДУ
$g(x,y,y',c)=0 \forall c\in \mathbb{R}$
Предположим что в системе уравнений
$\begin{cases}f(x,y,c)=0 \\ g(x,y,y',c)=0 \end{cases}$
можно однозначным образом "исключить" постоянную с, получая из двух уравнений одно единственное $h(x,y,y')=0$
Где гарантия что это уравнение не описывает лишних кривых, а только те кривые для которых $c=const$? Требуется ли дополнительная "проверка корней"?

[Brukvalub]

deep blue в сообщении #1463644 писал(а):

Вдруг оно описывает дополнительно кривые $x^2+y^2+cx=0$ где $c\neq const$?

В последнем случае получится, что производная найдена с ошибкой.

[deep blue]

Ясное дело что в этом случае производная будет найдена с ошибкой. Но как из этого следует что уравнение $x^2+y^2+(-2x-2yy')x=0$ не имеет лишних решений? И как быть в общем случае?

[Brukvalub]

deep blue в сообщении #1463655 писал(а):

Но как из этого следует что уравнение $x^2+y^2+(-2x-2yy')x=0$ не имеет лишних решений?

Может, решить это уравнение?

[deep blue]

Решить это ду, значит - сделать проверку. Но вопрос в том нужна ли такая проверка априори? В книге она не производится. Может она вообще не нужна, и в общем случае тоже.

[Утундрий]

deep blue в сообщении #1463663 писал(а):

Решить это ду, значит - сделать проверку.

Нет, это разные действия.

[deep blue]

Да, я имел ввиду проверку в другом смысле: решить уравнение целиком и проверить совпадают ли его решения с тем что нам дано в условии или множество его решений шире. Нужно ли подобное решение-проверка в этом и вопрос? В книге ничего такого не делают и ДУ не решают, а просто говорят что это ответ.

[Утундрий]

deep blue в сообщении #1463667 писал(а):

Нужна ли подобная проверка? В книге ничего такого не делают и ДУ не решают, а просто говорят что это ответ.

А давайте переставим два предложения...

deep blue в сообщении #1463667 писал(а):

В книге ничего такого не делают и ДУ не решают, а просто говорят что это ответ.

deep blue в сообщении #1463667 писал(а):

Нужна ли подобная проверка?

[deep blue]

От перестановки мест слагаемых смысл не меняется

[DeBill]

deep blue в сообщении #1463644 писал(а):

Где гарантия что это уравнение не описывает лишних кривых, а только те кривые для которых $c=const$? Требуется ли дополнительная "проверка корней"?

Гарантий нет. Более того, как правило, доп. решения обычно есть (огибающая для рассматриваемого семейства)- посмотрите Уравнения Клеро.
Конкретный пример: сделайте по Вашему плану для семейства прямых $y=cx-c^2$: полученный дифур имеет дополнительное решение $y=\frac{x^2}{4}$

[deep blue]

Отличный пример, то что я искал, спасибо!
Предложу план получения ДУ, который никогда не должен приводить к лишним решениям:
$y=cx-c^2$
$c=\frac{-x+\sqrt{x^2-4y}}{2}y$ или $c=\frac{-x-\sqrt{x^2-4y}}{2}y$
Дифференцируем оба уравнения и получаем 2 ДУ:
$0=\frac{1}{2}+\frac{x-2y'}{\sqrt{x^2-4y}}$ или $0=\frac{1}{2}-\frac{x-2y'}{\sqrt{x^2-4y}}$
Объединение их решений должно давать в точности семейство $y=cx-c^2$
Лишнее решение как раз соответствует нулевому знаменателю $\sqrt{x^2-4y}=0 \Rightarrow y=\frac{x^2}{4}$

[DeBill]

deep blue в сообщении #1463837 писал(а):

Предложу план

Однако, это не совсем тот план, который Вы описали в стартовом сообщении...
Это план - состоящий в неравносильном преобразовании исходной системы, приводящий к искусственной потере одного из решений, однако...

-- 19.05.2020, 15:02 --

Вообще, идея Ваша вполне понятна и естественна (я и сам хотел сразу это предложить): выразить из системы ЦЭ, да и продифференцировать...Если дифференцировать по параметру ЦЭ можно - это и даст Вашу систему-дифур. Но если нельзя? Это и будут исключительные решения. Так что все упирается в уточнение постановки задачи.

[Null]

Обычно делают так: выражают $c$ из равенства и получают $F(x,y)=c$, ну а это равносильно $dF(x,y)=0$

[deep blue]

DeBill, Null Да, с этим все понятно. Мне был интересен этот вопрос когда c нельзя или не хочется однозначно выразить из уравнения, но при этом можно однозначно выразить (исключить) из системы состоящей из первого уравнения и продифференцированного уравнения. И вот тут, как выяснилось благодаря DeBill, появляются новые решения.
К примеру, если мы возьмем систему линейных уравнений где число переменных больше числа уравнений и исключим методом Гаусса все переменные, которые можем исключить, то получим общее решение этой системы. Если тоже проделать для нелинейной системы, то тоже никаких проблем (при условии однозначности исключения). Казалось бы, если что-то верно поточечно (для систем уравнений) для всех наборов точек (x,y,y'). Должно быть верно и для функций состоящих из этих наборов точек. Однако нет, появляются "новые" функции состоящие из "старых" точек.
Если нарисовать картинку из примера - параболу $\frac{x^2}{4}$ , то все становится понятно. В каждой точке параболы её производные совпадают с производными прямых семейства. Однако сама парабола в семейство не входит!