Формула Планка в разных видах

[Solaris86]

В учебниках встречал такую стандартную запись этой формулы:
$\langle \varepsilon_\omega \rangle = \frac{\hslash \omega}{e^\frac{\hslash \omega}{kT} - 1}$
А в том учебнике, где нужно решать задачи, такие формулы:

Пробую привести формулу $\langle \varepsilon_\omega \rangle = \frac{\hslash \omega}{e^\frac{\hslash \omega}{kT} - 1}$ к этим видам при помощи несложных замен:
$\omega = 2\pi\nu$
$\hslash = \frac{h}{2\pi}$
$\nu = \frac{c}{\lambda}$
$\langle \varepsilon_\nu \rangle = \frac{h \nu}{e^\frac{h \nu}{kT} - 1}$
$\langle \varepsilon_\lambda \rangle = \frac{hc}{\lambda (e^\frac{hc}{\lambda kT} - 1)}$
Кто-нибудь может объяснить, откуда в учебнике в формуле для $\langle \varepsilon_\nu \rangle$ взялся множитель $\frac{2 \pi \nu^2}{c^2}$ и в формуле для $\langle \varepsilon_\lambda \rangle$ взялся множитель $\frac{2 \pi c}{\lambda^4}$?
Где в моих подстановках ошибка? Или же это опечатки в книге?

[arseniiv]

Немного странно, что при переходе от $\varepsilon_\omega$ к $\varepsilon_\nu$ появилось умножение на неконстанту, но совершенно правильно, что оно появится при переходе к $\varepsilon_\lambda$, потому что преобразовываете-то вы не скалярную функцию, а плотность, и для соответствующих друг другу $\omega, \lambda$ должны быть равны друг другу не просто $\varepsilon_\omega$ и $\varepsilon_\lambda$, а $\varepsilon_\omega\,d\omega$ и $\varepsilon_\lambda\,d\lambda$. Следствие того же — требование нормировки (чтобы интеграл по области всех возможных значений — здесь для всех трёх переменных $[0;+\infty)$ — всегда давал одно и то же число, обычно единицу), которое даст разные константные множители, даже если замена переменной линейная.

[Pphantom]

Вторая формула - вполне нормальная формула Планка для "длинноволновой" интенсивности (энергии на ... в единичном диапазоне длин волн), а вот то, что вы "встречали в учебниках", вообще говоря, формулой Планка не является. Если сможете вспомнить, где вы это встречали, посмотрите там же, что именно это было.

[Solaris86]

Pphantom в сообщении #1463723 писал(а):

Если сможете вспомнить, где вы это встречали, посмотрите там же, что именно это было.

Учебник Савельева

В общем, есть такая задача. Солнечная постоянная равна $1350 \frac {\text{Вт}}{\text{м}^2}$. Сколько фотонов зелёного света (с длиной волны 555 нм) падает ежесекундно на $1 \text{м}^2$ границы земной атмосферы?
Энергия излучения всех фотонов с длиной волны 555 нм равна:
$\langle \varepsilon_\lambda \rangle = \frac{2 \pi c}{\lambda^4} \frac{hc}{\lambda (e^\frac{hc}{\lambda kT} - 1)}$
С другой стороны, она равна как энергия излучения одного фотона с длиной волны 555 нм на количество этих фотонов:
$\langle \varepsilon_\lambda \rangle = N \frac{hc}{\lambda}$
Приравниваем формулы и получаем:
$\frac{2 \pi c}{\lambda^4} \frac{hc}{\lambda (e^\frac{hc}{\lambda kT} - 1)} = N \frac{hc}{\lambda}$
Откуда число фотонов:
$N = \frac{2 \pi c}{\lambda^4} \frac{1}{(e^\frac{hc}{\lambda kT} - 1)}$
Нужно найти температуру. Понимаю, что её нужно найти с использованием солнечной постоянной, но не понимаю, как именно. Учитывая, что Солнце можно считать абсолютно чёрным телом, пробую найти температуру по формуле Стефана-Больцмана:
$R_\text{э} = \sigma T^4$, откуда $T = \sqrt[4]{\frac{R_\text{э}}{\sigma}} = \sqrt[4]{\frac{1350}{5.67 \cdot 10^{-8}}} = 392.81 (^\circ\text{К})$
Я получил значение температуры, то оно не подходит, так как температура Солнца более $2000 ^\circ\text{К}$ (именно температуру Солнца надо подставлять в формулу Планка)... Что за значение температуры я вообще получил и как его дальше использовать?

[Pphantom]

Solaris86 в сообщении #1463733 писал(а):

Учебник Савельева

У... в общем, это не формула (точнее, не функция) Планка. Нужная формула - следующая из этого учебника, (53.9). Вот уже ее (она там "частотная") можно привести к "длинноволновому" виду, учитывая соображения, изложенные arseniiv.

Solaris86 в сообщении #1463733 писал(а):

Солнечная постоянная равна $1350 \frac {\text{Вт}}{\text{м}^2}$. Сколько фотонов зелёного света (с длиной волны 555 нм) падает ежесекундно на $1 \text{м}^2$ границы земной атмосферы?

Правильный ответ на вопрос в такой формулировке - 0.

Как и у всякой функции распределения, физический смысл имеет не функция Планка сама по себе, а ее произведение с шириной интервала, т.е. $\varepsilon_\lambda \, d\lambda$ в ваших обозначениях. Если диапазон длин волн имеет нулевую ширину (а из условия задачи ничего другого не следует), то на него приходится нулевая доля энергии и нулевое же число фотонов. Можно, конечно, понадеяться, что неявно предполагается ширина интервала $d\lambda = 1$ нм (просто по точности исходных данных), но это некое дополнительно предполагаемое условие.

Соответственно, следующий вопрос - откуда вы извлекли такую задачу?

Solaris86 в сообщении #1463733 писал(а):

Нужно найти температуру. Понимаю, что её нужно найти с использованием солнечной постоянной, но не понимаю, как именно. Учитывая, что Солнце можно считать абсолютно чёрным телом, пробую найти температуру по формуле Стефана-Больцмана:
$R_\text{э} = \sigma T^4$, откуда $T = \sqrt[4]{\frac{R_\text{э}}{\sigma}} = \sqrt[4]{\frac{1350}{5.67 \cdot 10^{-8}}} = 392.81 (^\circ\text{К})$
Я получил значение температуры, то оно не подходит, так как температура Солнца более $2000 ^\circ\text{К}$ (именно температуру Солнца надо подставлять в формулу Планка)... Что за значение температуры я вообще получил и как его дальше использовать?

Вы при этом получили крайне грубую оценку стационарной температуры Земли. Использовать ее никак не надо, в подобной задаче она никому не нужна.

Солнечное излучение у поверхности Земли имеет чернотельный спектр, но не является равновесным, а столь лобовое использование закона Стефана-Больцмана предполагает равновесность.

[Solaris86]

У меня пока полное непонимание, задачу надо сдавать завтра край, за ночь я не успею разобраться с тонкостями преобразования...
Задача отсюда №5.128

Ответ к этой задаче в конце задачника - $37.8 \cdot 10^{20}$ фотонов.

[Pphantom]

Прискорбно. По-видимому, это означает, что авторы сего опуса весьма посредственно знают предмет, задачник по которому взялись писать. Можно, конечно, попробовать по ответу угадать, что именно они хотели получить, но...

Во-первых, попробуйте учесть уже высказанное мной выше предположение. Во-вторых, воспользуйтесь дополнительным данным: эффективная температура излучения Солнца около $6 \cdot 10^3$ K (с этих, правда, станется использовать что-нибудь "более точное", вроде 5770 К), эта информация для решения задачи тоже необходима.

[Solaris86]

Есть ещё вариант считать солнечную постоянную энергетической освещённостью (облучённостью) $E_e = \frac{d\Phi_e}{dS}$, а далее через неё выйти на спектральную плотность облучённости $E_e_\lambda(\lambda) = \frac{dE_e}{d\lambda}$, но опять же неизвестен $d\lambda$...

[Pphantom]

А, понятно. Нехорошо писать "полные решения", но это, по-видимому, тот случай, когда иначе никак.

Авторы задачника считают, что все фотоны можно считать имеющими одну и ту же длину волны. Поэтому вам надо просто сосчитать энергию одного такого фотона, а потом разделить солнечную постоянную на эту энергию. Получится то, что они считают ответом (с тремя значащими цифрами ).

[Solaris86]

Pphantom в сообщении #1463744 писал(а):

Во-первых, попробуйте учесть уже высказанное мной выше предположение. Во-вторых, воспользуйтесь дополнительным данным: эффективная температура излучения Солнца около $6 \cdot 10^3$ K (с этих, правда, станется использовать что-нибудь "более точное", вроде 5770 К), эта информация для решения задачи тоже необходима.

То, что вы оба выше сказали, я увидел и попытался осознать, но моих знаний не хватит, чтобы это понять здесь и сейчас, это надо вникать в статистику, распределения, плотность вероятности и т.п. Я просто это не осилю за короткий срок.
Что неясно:
1) размерность формулы 53.8 - $\text{Дж}$
2) размерность формулы 53.9 - $\frac{\text{Дж}}{\text{м}^2}$
3) размерность формулы 53.10 - $\frac{\text{Дж}}{\text{м}^3 c}$
На рис. 163 на графики формул 53.9 и 53.10 сопоставлены... Я вообще не понимаю, как можно сравнивать функции, имеющие разные размерности...

Pphantom в сообщении #1463747 писал(а):

Авторы задачника считают, что все фотоны можно считать имеющими одну и ту же длину волны. Поэтому вам надо просто сосчитать энергию одного такого фотона, а потом разделить солнечную постоянную на эту энергию. Получится то, что они считают ответом (с тремя значащими цифрами ).

Это не фейспалм, а просто фейспалмище...

[Pphantom]

Solaris86 в сообщении #1463752 писал(а):

Что неясно:
1) размерность формулы 53.8 - $\text{Дж}$
2) размерность формулы 53.9 - $\frac{\text{Дж}}{\text{м}^2}$
3) размерность формулы 53.10 - $\frac{\text{Дж}}{\text{м}^3 c}$

Ну давайте разбираться. (58.3) - это средняя энергия одного фотона (странная, кстати, но ладно, сейчас нам это неважно). Размерность, соответственно, должна быть размерностью энергии, что мы и видим.

(53.9) - это "частотная" интенсивность. Т.е. энергия, проходящая через единичную площадку в перпендикулярном ей направлении за единичное время в единичном телесном угле в единичном интервале частот. Размерность - энергия/площадь/время/частота. Время и частота сокращаются, получаем энергию/площадь, что и видим.

(53.10) - это "длиноволновая" интенсивность. Т.е. энергия, проходящая через единичную площадку в перпендикулярном ей направлении за единичное время в единичном телесном угле в единичном интерваледлин волн. Разница заметна? Это другая величина, не та, которая в (53.9), так что несовпадение их размерностей вполне нормально. Тут должно получаться энергия/площадь/время/длина, что мы опять-таки и видим.

Ну а на картинке, если присмотритесь, двойная ось абсцисс, на которой указаны и частоты, и длины волн. И это только дополнительная иллюстрация того факта, что два разных вида интенсивности различаются.

[Solaris86]

Зелёный фотон с длиной волны 555 нм:
$E_0 = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63\cdot 10^{-34} \cdot3 \cdot 10^8}{555 \cdot 10^{-9}} = 35.8 \cdot 10^{-20} \text{Дж}$
$N = \frac{E_e}{E_0} = \frac{1350}{35.8 \cdot 10^{20}} = 37.8 \cdot 10^{20}$
Вроде сошлось с ответом, только вот с размерностью что-то не то: размерность результата получается не в штуках, а $[N] = \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2\text{Дж}} = \frac{\text{1}}{\text{м}^2\text{с}}$.
Я так понимаю, то для согласования размерности нужно искусственно "доделать формулы":
$E_e = \frac{d\Phi_e}{dS}$, откуда $\Phi_e = \int_0^1 E_e dS = E_e S|_0^1 = E_eS(1)$
$\Phi_e = \frac{dQ_e}{dt}$, откуда $Q_e = \int_0^1 \Phi_e dt = \int_0^1 E_eS(1)dt = E_eS(1)t|_0^1 = E_eS(1)t(1)$
Тут же ремарка: ведь неграмотно будет написать после вычисления интегралов, что $\Phi_e = E_e S|_0^1 = E_e$ и $Q_e = E_et(1) = E_e$, ведь тогда получится, что совпадут размерности $[\Phi_e]=[E_e]=[Q_e]$, а такого быть не должно. Как можно более грамотно, чем таскание переменной в значении 1 ($E_eS(1)$ и $E_eS(1)t(1)$), обозначить, что равны только числовые значения разных функций, но не их размерности?
$Q_e = E_eS(1)t(1)= 1350 \cdot 1 \cdot 1 = 1350 (\text{Дж})$.
А дальше я бы спокойно написал $N = \frac{Q_e}{E_0}$ и тогда размерность $N$ стала бы: $[N] = \frac{\text{Дж}}{\text{Дж}} = 1$?

[Pphantom]

Solaris86 в сообщении #1463765 писал(а):

Вроде сошлось с ответом, только вот с размерностью что-то не то: размерность результата получается не в штуках, а $[N] = \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2\text{Дж}} = \frac{\text{1}}{\text{м}^2\text{с}}$.
Я так понимаю, то для согласования размерности нужно искусственно "доделать формулы":

Зачем? Прочитайте внимательно вопрос задачи - требуется найти число фотонов, падающих ежесекундно на один квадратный метр поверхности земной атмосферы.

Соответственно, если очень хочется, домножте полученную "освещенность" на требуемые площадь и интервал времени (сиречь в СИ - на $1\times 1$) и не надо никакие интегралы тут писать.

[Solaris86]

Спасибо за помощь!

Solaris86 в сообщении #1463765 писал(а):

энергия одного фотона (странная, кстати, но ладно, сейчас нам это неважно)

Чем странная?

Pphantom в сообщении #1463756 писал(а):

И это только дополнительная иллюстрация того факта, что два разных вида интенсивности различаются.

По формулам это видно, по графикам это видно, но почему это так - это мне пока не осознать, оставлю этот факт на обдумывание.

[Pphantom]

Solaris86 в сообщении #1463773 писал(а):

Чем странная?

Формулировкой. На мой взгляд, у Савельева это как-то кривовато изложено (а я, кажется, никогда раньше в эту его часть не заглядывал). Результат, впрочем, верный.