Две задачи по ФНП

[qwe95]

Здравствуйте! Прошу помочь с двумя задачами по функциям нескольких переменных:

1. Найти $d^n(r\cos(\varphi))$
Моё решение: Под знаком дифференциала функция двух независимых аргументов $f(r,\varphi)$. Тогда полный дифференциал n-го порядка запишется в виде $d^n(r\cos(\varphi))=\left(\frac{\partial}{\partial r}dr+\frac{\partial}{\partial \varphi}d\varphi \right)^n f(r, \varphi)$. Как мне кажется, слишком просто, чтобы это могло быть правильным решением. Но буду рад ошибаться

2. Оценить с помощью $d^2f$ погрешность приближения ф. Тейлора 1-го порядка для выражения $\ln(0,03 + \tg(44^\circ))$
Моя попытка решения: Выписал разложение $\ln(X + \tg(Y))$ в окрестности точки $(0;\pi/4)$. Остаточным членом будет $d^2(f(x_0+\theta\Delta x, y_0+\theta\Delta y))$. После вычисления частных производных и подстановки в остаток получается громоздкая дробь, где выбор величины $0<\theta<1$, на мой взгляд, совсем не очевиден

Ход решения

$$M=(0+0,03,\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{180})$$

$$\Delta x = 0,03 \hspace{4mm}\Delta y = -\frac{\pi}{180}$$

$$\Delta f = f(x,y) - f(x_0,y_0) - df(x_0,y_0)=\frac{d^2f(x_0 + \theta\Delta x,y_0 + \theta\Delta y)}{2!} =$$

$$= \frac{1}{2} \left( -\frac{\Delta x^2}{(x_0+\theta\Delta x + \tg(y_0+\theta\Delta y))^2} -\frac{2}{(x_0+\theta\Delta x + \tg(y_0+\theta\Delta y))^2\cos^2(y_0+\theta\Delta y)}\right) + $$

$$+ \frac{1}{2}\left(\frac{2\sin(2(y_0+\theta\Delta y))(x_0 + \theta\Delta y + \tg(y_0 + \theta\Delta y))-1}{(x_0 + \theta\Delta x + \tg(y_0 + \theta\Delta y))^2\cos^4(y_0 + \theta\Delta y)}\right)$$

Благодарю за уделённое время

[Lia]

qwe95
Давайте детальнее, а не на уровне общих слов.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»