Задачи из книги Garrity Algebraic Geometry

[X0rist]

Пусть $C=V(x^2-y^2-1)\subset C^2$. Показать, что существует непрерывный путь на этой кривой из точки $(-1,0)$ в точку $(1,0)$, несмотря на то, что такой непрерывный путь не существует в $R^2$.

Как можно это показать? Хочу посмотреть, что в комплексной плоскости две ветки гиперболы действительно связаны. Я попробовал подойти к этой задаче через более простую задачу:

Пусть $C=V(x^2-y^2-4) \subset R^2$. Показать, что если $(x, y)\in C$, тогда $\left\lvert x \right\rvert$ $\geqslant 2$. Это можно показать так: $x^2 = y^2 + 4 \Rightarrow \left\lvert x \right\rvert = \sqrt{y^2 + 4}$ и если $y \geqslant 0\Rightarrow \left\lvert x \right\rvert \geqslant 2$

Отсюда следует, что на отрезке $(-2, 2)$ нет точек кривой и ветви гиперболы не связаны. А как показать, что в комплексной плоскости между ветвями первой гиперболы есть непрерывный путь?

[Xaositect]

Посмотрите, что будет, когда одна из координат мнимая.

Полезно также вообще посмотреть, что собой представляет эта комплексная кривая как двумерное многообразие в четырехмерном действительном пространстве $\mathbb C^2$, порисовать разные сечения и т.п.

[X0rist]

Xaositect в сообщении #1463411 писал(а):

Посмотрите, что будет, когда одна из координат мнимая.

Тогда, если выразить вторую координату через другую комплексную координату, она тоже будет комплексной. Точнее, будет соответствовать две комплексные координаты. Например, точка $(o, i)$ лежит на данной кривой. Это и означает, что части гиперболы соединены в комлпексной плоскости?

По поводу того, чтобы рассмотреть кривую как двумерное многообразие в четырехмерном комплексном пространстве, как это сделать?

Получается, что в комплексном пространстве это многообразие выглядит довольно сложно.

[Xaositect]

X0rist в сообщении #1463441 писал(а):

Это и означает, что части гиперболы соединены в комлпексной плоскости?

Еще нет, но суть в этом. Подумайте, как можно соединить $(1,0)$ и $(-1,0)$, проходя через $(0, i)$? Здесь можно написать явно непрерывный путь.

X0rist в сообщении #1463441 писал(а):

По поводу того, чтобы рассмотреть кривую как двумерное многообразие в четырехмерном комплексном пространстве, как это сделать?

Точку $(x, y) \in \mathbb C^2$ можно задать четырьмя действительными координатами $(\mathop{\mathrm{Re}} x, \mathop{\mathrm{Im}} x, \mathop{\mathrm{Re}} y, \mathop{\mathrm{Im}} y)$. Уравнение $x^2 - y^2 - 1 = 0$ даст два уравнения на эти четыре координаты. Нарисовать график в четырехмерном пространстве сложно, но посмотреть, как будет выглядеть это множество в пересечении, например, с трехмерным пространством $\mathop{\mathrm{Im}} y = p$ или $\frac{\mathop{\mathrm{Re}} y}{\mathop{\mathrm{Im}} y} = \tg p$ и как это пересечение будет меняться с изменением параметра $p$, можно.

[X0rist]

Xaositect в сообщении #1463450 писал(а):

X0rist в сообщении #1463441 писал(а):

Это и означает, что части гиперболы соединены в комлпексной плоскости?

Еще нет, но суть в этом. Подумайте, как можно соединить $(1,0)$ и $(-1,0)$, проходя через $(0, i)$? Здесь можно написать явно непрерывный путь.

Возможно, здесь будут концентрические окружности, проходящие через точки $(-1, 0), (0, i), (1, 0), (0, -i)$ и через другие точки (окружности меньшего радиуса)?
Но я не уверен. Можно как-то вывести формулу той линии, которая проходит через эти точки?

[Xaositect]

X0rist в сообщении #1463455 писал(а):

Но я не уверен. Можно как-то вывести формулу той линии, которая проходит через эти точки?

А это Вы мне скажите, можно или нет. Пусть $x$ - действительное число, а $y = ip$ - чисто мнимое. Как соотносятся $x$ и $p$?

[X0rist]

Xaositect в сообщении #1463458 писал(а):

X0rist в сообщении #1463455 писал(а):

Но я не уверен. Можно как-то вывести формулу той линии, которая проходит через эти точки?

А это Вы мне скажите, можно или нет. Пусть $x$ - действительное число, а $y = ip$ - чисто мнимое. Как соотносятся $x$ и $p$?

Если подставить $x$ и $y$ в уравнение кривой, то получим: $x^2 - (ip)^2 - 1 = 0$, тогда $x^2 + p^2 -1 = 0$ и $x^2 = 1 - p^2, \left\lvert x \right\rvert = \sqrt{1-p^2}$
Эти кривые похожи на параболы.

[Xaositect]

X0rist в сообщении #1463462 писал(а):

тогда $x^2 + p^2 -1 = 0$

X0rist в сообщении #1463462 писал(а):

похожи на параболы.

Что-то тут не так.

[kotenok gav]

X0rist в сообщении #1463462 писал(а):

Эти кривые похожи на параболы.

Неужели вы никогда не видели уравнения $x^2+y^2=1$?

[X0rist]

kotenok gav в сообщении #1463465 писал(а):

X0rist в сообщении #1463462 писал(а):

Эти кривые похожи на параболы.

Неужели вы никогда не видели уравнения $x^2+y^2=1$?

Это единичная окружность. Запутался из-за того, что здесь $y$ это чисто мнимое число.
Тогда получается, что эта кривая в комплексной плоскости состоит из трех компонент: двух ветвей гиперболы и единичной окружности, которая их связывает. Так?

[vpb]

X0rist в сообщении #1463467 писал(а):

Тогда получается, что эта кривая в комплексной плоскости состоит из трех компонент: двух ветвей гиперболы и единичной окружности, которая их связывает. Так?

Нет, не так. Рассмотрим пока лишь многообразия в действительном пространстве. Множество точек в трехмерном пространстве, обычном, определяемое двумя уравнениями, это что такое ? Не лишним будет спросить: вы курс обычной аналитической геометрии брали ? Или устремились сразу к алгебраической ? Вот это замечание

X0rist в сообщении #1463462 писал(а):

сли подставить $x$ и $y$ в уравнение кривой, то получим: $x^2 - (ip)^2 - 1 = 0$, тогда $x^2 + p^2 -1 = 0$ и $x^2 = 1 - p^2, \left\lvert x \right\rvert = \sqrt{1-p^2}$
Эти кривые похожи на параболы.

наводит на мысль, что нет...

-- 18.05.2020, 01:56 --

Xaositect в сообщении #1463411 писал(а):

Полезно также вообще посмотреть, что собой представляет эта комплексная кривая как двумерное многообразие в четырехмерном действительном пространстве $\mathbb C^2$, порисовать разные сечения и т.п.

Я думаю, это не такой уж простой вопрос. Я, во всяком случае, сейчас обозримого ответа на него не вижу. Топологически понятно, что это будет, а вот с других точек зрения --- непонятно.

[Xaositect]

vpb в сообщении #1463529 писал(а):

Я думаю, это не такой уж простой вопрос. Я, во всяком случае, сейчас обозримого ответа на него не вижу. Топологически понятно, что это будет, а вот с других точек зрения --- непонятно.

Так я и советую качественно ознакомиться с этой непонятной вещью. Комплексная коника - она и есть комплексная коника, с большинства точеек зрения ее проще не опишешь. Я тогда еще не думал, что будут проблемы в базовых вещах.

[X0rist]

vpb, я учился на алгебро-геометрическом направлении года 4-5 назад и сейчас мне снова стало это интересно. Пытаюсь заниматься для себя и исправлять пробелы в знаниях. Вечером более внимательно почитаю ваши сообщения. Если это комплексная коника, значения переменных в уравнении которой имеют вид $z = x + iy$, тогда почему в условии задачи даны точки в двумерном пространстве типа $(-1, 0)$? Такое ощущение, что автор забыл, что он определил конику в $C^2$, состоящем из точек $(a + ib, c + id)$ и перешел к плоскости. Почему так?

Цитата:

Множество точек в трехмерном пространстве, обычном, определяемое двумя уравнениями, это что такое ?

Это пересечение нулей обоих уравнений, кривая. Одно уравнение в трехмерном пространстве задает поверхность. Пересечение двух поверхностей это кривая.

[X0rist]

С другой стороны, у нас на парах по ТФКП преподаватель тоже рисовал окружности в комплексном пространстве и интегрировал вдоль плоских путей, но там были функции одной комплексной переменной $z = x + iy$. А судя по условию задаче, моя коника находится в $C^2$ и переменные $x, y$ это полноценные комплексные числа вида $a + ib$. Я запутался, объясните!

Вот условие моей задачи https://imgur.com/a/2f0kGtd

[nnosipov]

X0rist в сообщении #1463632 писал(а):

Я запутался, объясните!

А для обычной окружности $x^2+y^2=1$ в $\mathbb{R}^2$ Вы понимаете, как точки $(\pm 1,0)$ соединить непрерывным путем? Это ведь совсем элементарная задачка для школьников. (А на алгебро-геометрическом направлении должны были научить и рациональной параметризации окружности, хотя здесь это и необязательно знать.)