Хан Банах

[shwedka]

Рассмотрим пространство Х функций, ограниченных и непрерывных на
открытом интервале (0,1) с нормой - супремум модуля. В нем рассмотрим подпространство У функций, имеющих предел в точке 0. Это замкнутое подпространство, как легко проверить. Рассмотрим функционал на У: предел в нуле. По ХануБанаху этот функционал можно продолжить непрерывно на Х. Но теорема ХБ неконструктивна, да еще на выборе держится.
А можно ли в данной конкретной ситуации предъявить продолжение, хотя бы одно?

[Someone]

shwedka писал(а):

Рассмотрим пространство Х функций, ограниченных и непрерывных на
открытом интервале (0,1) с нормой - супремум модуля. В нем рассмотрим подпространство У функций, имеющих предел в точке 0. Это замкнутое подпространство, как легко проверить. Рассмотрим функционал на У: предел в нуле. По ХануБанаху этот функционал можно продолжить непрерывно на Х. Но теорема ХБ неконструктивна, да еще на выборе держится.
А можно ли в данной конкретной ситуации предъявить продолжение, хотя бы одно?

Конструктивно - вряд ли. А неконструктивно - сколько угодно (точнее, $2^{2^{\aleph_0}}). Например, взять свободный ультрафильтр, для которого $0$ является предельной точкой, и в качестве продолжения Вашего линейного функционала взять предел по этому ультрафильтру. Но существование ультрафильтра без аксиомы выбора, как будто бы, не доказывается.

[shwedka]

Цитата:

Конструктивно - вряд ли

а аргументация -- что сразу в голово не пришло?
это рассуждение с ультрафильтрами ничуть не веселее прямого применения ХанаБанаха. ведь там тоже, базис Хамеля упорядочивается....
А все же???? Ведь вопрос не общий, я вполне конкретный.
Версия еще 'чище'
Распространить функционал 'предел'
на пространство ограниченных последовательностей с равномерной нормой с подпространства сходящихся последовательностей....

[Руст]

Я принял ваш вопрос за прикол и не стал отвечать. Как можно определить того, чего нет?
Разве, что определить обобщённые пределы (опять таки они существуют не для всех функций) и продолжение согласовать с ними. Так как обобщённые пределы могут быть между собой не согласованными, то и в этом классе можно определить неоднозначно. Например обобщённый предел типа:
$f^*(o)=\lim_{x\to 0} \frac{\int_{x^2}^x f(t)I(t)dt}{\int_{x^2}^x I(t)dt }$.

[shwedka]

Нет, это не прикол, а для жизни надо.

Цитата:

Как можно определить того, чего нет?

Нет, речь идет о поиске явного выражения для того, что есть.
Распространение функционала 'предел' на ограниченные функции существует, их даже до посинения штук, на всех хватит. Но стандартные, общие, мощные методы выражают такое распространение через трансфинитную индукцию. Вопрос в том, что, может, есть хотя бы одмо распространение, которое без таких выкрутасов, конечной формулой можно было описать. Совсем точно, для пуристов, то выражение через конечное или счетное число стандартных операций анализа. То, что вы предложили, сделало бы меня счастливой на ближайшую неделю, если бы работало для всех ограниченных функций. Таки нет. Может, можно и доказать, что таких формул быть не может по природе. Я, скажем, похожие случаи знаю, где доказательство невозможности сводится к тривиальности некоторых гомологий.
Если такое можно сделать в этом случае, то счастливой я не буду, но по крайней буду поспокойнее.

[Руст]

То, что продолжений сколько угодно думаю все знают. Я говорил то чего нет о предеде.
Я предложил метод обобщённых пределов, на самом деле это можно сделать обоснованным, т.е. ввести:
(1) $f^*(0)=\lim_{x\to 0} \frac_{\int_x^{g(x)} f(t)I(t)dt }{\int_x^{g(x)} I(t)dt}$.
Можно занумеровать так разные пары из функций g(x)>x и интегрального ядра I(t)>0, так что если предел не определён, то его определим по первой такой паре, что дает результат. Таким образом, получим определение обобщённого значения в 0 по формуле (1).
Недостаток тот же зависит от нумерации. К тому же предел можеть быть определён и для более позднего номера и он не обязан совпадать определённым нами.

[er]

О конструктивности в "Топологии" Куратовского есть и книгах по мат. логике.
Насколько помню, вопрос о конструктивности (существования конструктивного
мат. объекта) сводится к конструктивности подмножеств прямой, а это дискриптивная теория множеств.
Конструктивные множества является проективными. Напомню, \sigma-алгебра
проективных множеств - это наименьшая \sigma-алгебра, содержащая замкнутые (и открытые) множества, для которой непрерывный образ элемента $\sigma$-алгебры принадлежит ей.

Не все подмножества прямой проективны, их континуум.

Прямую можно заменить на конструктивное метризуемое сепарабельное пространство.

Можно ослабить топологию ограниченных непрерывных функций на прямой с топологии равномерной сходимости до сепарабельной метризуемой компактно открытой топологии топологии, топологии равномерной сходимости на компактных подмножествах $(0,1)$, достаточно рассматривать сходимость на отрезках $[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}]$. Потом посмотреть на ядра искомых функционалов, будут ли они проективными.

Я думаю, конструктивных искомых функционалов не существует. Сначало упростим условие задачи. Вместо всех непрерывных ограниченных функций будеи рассматривать кучочно линейные непрерывные ограниченные функции, которые на $[\frac{1}{2},1)$ постоянны и линейны на каждом отрезке вида $[\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$. Вполне конструктивное множество.

Для этого линейного пространства, задача эквивалнтна:

Вопрос. Пусть $L$ множество ограниченных функций на $\mathbb{N}$ (т.е, ограниченные последовательности) c sup-нормой. Существует ли не нулевой конструктивныный непрерывный функционал $\varphi$ на $L$, такой что $\varphi(f)=0$ для любой ограниченной сходящейся к нулю последовательности $(f(n))_{n\in\mathbb{N}}$?

Скорее всего, такой вопрос рассматривался. Кажется, из конструктивности $\varphi$ вытекает, что ядро $\varphi$ проективное подпространство $L$, где на $L$ рассматривается топология поточечной сходимости (топология, индуцированная из топологии произведения $\mathbb{R}^\mathbb{N}$). Проективность ядра функционала эквивалентна проективности функционала (в смысле, прообраз открытого множества проективное множество).

Обозначим $L$ с топологией из $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ как $L_*$.

Задача в том, чтоб описать проективные функционалы на $L_*$. И есть ли среди них нетривиальный, содержащий в ядре $c_0$ (= последовательности, сходящиеся к 0).

Функционалы, которые являются пределами по свободному ультрафильтру, будут ли среди них проективные, тоже любопытный вопрос. Скорее всего нет.

Что то подобное встречал, но рассматривались борелевские, а не проективные множества..

[Руст]

Обсуждая измеримые функции я оказывается упустип, что в этой задаче речь идёт о непрерывных и ограниченных функциях. Соответственно можно дать более конструктивное среднее значение в 0. Для начало продолжим функцию и отрицательную часть по симметрии f(-x)=f(x). Разложим эту чётную функцию (определённую в (-1,1)) в ряд Фурье:
$f(x)=a_0+\sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos{\pi kx}$.
Соответственно задача сводится определению f(0) для этого ряда, т.е. определению суммы ряда:
$f^*(0)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k.$
Так как для непрерывных функций этот ряд почти сходится, то можно определить сумму в виде обобщённого суммирования (таких методов так же много), например взяв сходящийся при |z|<1 ряд:
$g(z)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k $
расcмотреть предел g(z) при z стремящимся к 1.

[shwedka]

О методах суммирования я и сама знаю. По Абелю, Чезаро, по Риссу-Бохнеру, по Борелю. Даже чего-то писала про это. Но никакой из методов, что я знаю, не справляется со всеми функциями сразу, У каждого- свое множество функций. Так что мой вопрос можно переформулировать еще и так, сучествует ли универсальный метод суммирования рядов, что суммирует любой ряд с ограниченными частными суммами? все рассуждения , что я видела выше, предлагают трансфинитные методы или разговоры о конструктивных множествах...
Я по-простому, хочу по-викинговски, через конечную или счетную комбинацию обычных операций анализа.

Вот аналогичная ситуация. Пусть функция $u(x)$ с комплексными значениями задана и непрерывна на $[0,2\pi], u(0)=u(2\pi)$. таким образом, задает замкнутую кривую в комплексной плоскости. Допустим, что кривая не проходит через ноль, т .е. функция никогда в ноль не обращается. Тогда можно задать 'число вращения' кривой. Топология позволяет, действительно, задать его , и более, чем непрерывность, не нужно.
Вопрос: найти аналитическую формулу для числа вращения.
Если функция дифференцируема, то это просто, из теоремы Руше комплексного анализа, или там еще откуда, 17 разными способами можно показатть, что число вращения равно
$(-2\pi i)^{-1}\int_{0}^{2\pi} u'(x) u(x)^{-1} dx$
но формула производную требует. Ну, если сильно поднатужиться, то можно формулу распространить на функсии с 'половиной ' производной, квадратично суммируемой. а если еще хуже????
Нужны другие формулы. Хочу ограничиться формулами, которые
являются полилинекными выражениями от $u, u^{-1}$ и их производных, в смысле распределений. Оказывается на таком пути можно изобрести новые формулы для числа врачения, которые верны для функций из класса Гельдера сколь угодно малого порядка (функций, удовлетворяющих $|u(x)-u(y|\le C|x-y|^\gamma), \; 0<\gamma\le 1$. Но можно доказать, что таких формул, годящихся для всех непрерывных функций, нет!!
Небанально, правда.

[Руст]

Я извиняюсь за последнее сообщение.
Я где то встечал, что ряд Фурье для ограниченной непрерывной функции сходится по Чезаро, соответственно тем более по указанному методу. На самом деле в вашем случае и вообще нет общей единой конструкции обобщённого определения единого определения f(0), и в принципе это можно доказать. Единственное предложенное ранее конструкцию для интегрируемых функций можно несколько упростить для вашего класса функций в смысле g(x). Так что, я опять первоначального мнения, задача не имеет конструктивного решения, т.е. является (с точки зрения конструктивиста) приколом.

[shwedka]

Руст писал(а):

На самом деле в вашем случае и вообще нет общей единой конструкции обобщённого определения единого определения f(0), и в принципе это можно доказать. . Так что, я опять первоначального мнения, задача не имеет конструктивного решения, т.е. является (с точки зрения конструктивиста) приколом.

Обидно, конечно.
Но все же, может, присутствующие логики дадут ссылку, где доказательство невозможности есть...
Я все же по воспитанию своему, смотрю на это как на аналитическую, а не логическую задачу.

[Егор]

shwedka писал(а):

Но все же, может, присутствующие логики дадут ссылку, где доказательство невозможности есть...

С конструктивной точки зрения, ситуация "ещё хуже": не существует общего алгорифма вычисления предела даже для тех последовательностей из нулей и единиц, которые "обязаны быть стационарными" (но не дано, с какого места).

Действительно, каждому многочлену $p$ с целыми коэффициентами от нескольких переменных сопоставим последовательность $a_p$ из нулей и единиц следующим образом. Для каждого натурального $n$ положим $a_p(n)=1$, если существует целочисленный набор $(x_1,\ldots,x_k)$, обращающий в нуль многочлен $p$ и такой, что $|x_1|\le n,\ldots,|x_k|\le n$; иначе $a_p(n)=0$. Отметим, что последовательность $a_p$ строится конструктивно по многочлену $p$.

Если многочлен $p$ имеет целые корни, то последовательность $a_p$, начиная с некоторого места, равна $1$. Если же многочлен $p$ не имеет целых корней, то последовательность $a_p$ нулевая. В каждом из двух случаев, последовательность $a_p$ стационарная и имеет предел.

Если бы существовал алгорифм вычисления этого предела хотя бы с точностью $1/3$, то отсюда сразу получился бы алгорифм проверки произвольного диофантового уравнения на наличие корней. Но теорема Матиясевича утверждает, что такой алгорифм невозможен.

Замечание-послесловие. В конструктивизме даже возрастающая ограниченная последовательность рациональных чисел не обязана иметь предел (пример Шпекера). Интересно, можно ли построить искомый оператор Lim, допуская в качестве значений этого оператора возрастающие ограниченные последовательности рациональных чисел.

[Руст]

Егор вы уводите в другую плоскость. Всё это можно проделать оставаясь в плоскости анализа. 1. Любое непрерывные расширение функционала, определяющего предельное значение даётся указанными интегральными формулами.
2. Всегда существует функция, для которого эта формула с фиксированным ядром не работает. В то же время для каждой функции существует своя формула, определяющая усреднённое значение в 0.
3. Для каждых двух расширяющих определение функции в 0 существует функция принимающая разные значения при определении этими формулами.
4. Последовательные расширения зависят от урорядочения (нумерации) этих формул.

[er]

Руст писал(а):

Егор вы уводите в другую плоскость. Всё это можно проделать оставаясь в плоскости анализа.

А что "это"? Доказать, что формул для продолжения нет?

Руст писал(а):

1. Любое непрерывные расширение функционала, определяющего предельное значение даётся указанными интегральными формулами.
2. Всегда существует функция, для которого эта формула с фиксированным ядром не работает. В то же время для каждой функции существует своя формула, определяющая усреднённое значение в 0.
3. Для каждых двух расширяющих определение функции в 0 существует функция принимающая разные значения при определении этими формулами.
4. Последовательные расширения зависят от урорядочения (нумерации) этих формул.

Вы предложили некую идею, которая не работает. Разве это что то доказывает?

Насколько понял, у конструктивистов математика совсем бедная. Идея - взять некую часть классической математики (достаточно большую, включающию классический мат.ан.), а потом объекты строить конструктивно. Быть может, добавив некоторые методы построения объектов, кроме строго конструктивистких (например, пределы фундаметальных последовательностей на прямой). И посмотреть что получится. Подозреваю, что подобные вещи делались.

Интересно, насколько математика со счетной аксиомой выбора (выбираем по точке их счетного семейства) отличается от обычной.

[Егор]

Руст писал(а):

Егор вы уводите в другую плоскость.

Собственно, я вообще не то доказал. Остаётся возможность существования конструктивного функционала, который для конструктивно сходящихся последовательностей (т. е. с заданным регулятором сходимости) даёт предел, а для "неконструктивно сходящихся" даёт "неправильный ответ".

Руст писал(а):

1. Любое непрерывные расширение функционала, определяющего предельное значение даётся указанными интегральными формулами.

Как это строго доказать (может, есть ссылка)? Какой общий вид конструктивного функционала Lim для ограниченных последовательностей?