Интеграл от периодической функции

[Norma]

Нужно доказать, что $\int_0^{2\pi} \frac{\sin x}{(1+\cos^2x)} dx=0$ и $\int_0^{2\pi} \frac{\cos x}{(1+\cos^2x)} dx=0$. С первым интегралом все просто. Меняем отрезок интегрирования: $[0,2\pi]$ на $[-\pi,\pi]$ и получаем интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку. С косинусом сложнее, я пытался менять отрезок интегрирования, оценивать подынтегральную функцию сверху и снизу, пользовался четностью подынтегральной функции, но это ни к чему не привело.

[DeBill]

А сделайте замену, чтоб косинус стал синусом (формулы приведения)

[Norma]

DeBill
Спасибо!

[RIP]

(Оффтоп)

Ещё можно сделать замену $x=y+\pi$. Годится для обоих интегралов.

[Someone]

А чего бы в обоих случаях не использовать "подведение под дифференциал"?
1) $\int\frac{\sin x\,dx}{1+\cos^2x}=\int\frac{-d\cos x}{1+\cos^2x}=\ldots$
2) $\int\frac{\cos x\,dx}{1+\cos^2x}=\int\frac{d\sin x}{1+1-\sin^2x}=\ldots$

[EUgeneUS]

Norma
Нечетная непрерывная функция обязана проходить через точку $(0,0)$
Чтобы график функции "косинусом" проходил через точку $(0,0)$ его нужно сдвинуть влево, например, на $\pi / 2$, либо вправо на $2 \pi / 2$. В результате получится то, что советовал уважаемый DeBill - "косинус станет синусом"