вопрос по суперпозиции

[granit201z]

из учебника Дирака

Цитата:

если заданы два состояния, которым соответствуют кет$$ векторы A и B, то общему состоянию, полученному в результате наложения, соответствует кет-вектор R, который определяется двумя комплексными числами, а именно, коэффициентами $с_1$ и $с_2$ в уравнении (1) ($c_1 \cdot A + c_2 \cdot B = R$). Если эти два коэффициента помножить на одинаковое число (тоже комплексное), то кет-вектор R помножится на это число и соответствующее ему состояние не изменится. Таким образом, для определения состояния R существенно лишь отношение обоих коэффициентов. Следовательно это состояние определяется одним комплексным числом...

(почему одним то комплексным?, когда двумя - c1 и c2)

Цитата:

...или двумя вещественными параметрами. Таким образом в результате суперпозиции из двух состояний может быть получена дважды бесконечная последовательность состояний.

(что за дважды бесконечная последовательность? что они имеют ввиду?)
ранее, кстати, по тексту написано следующее:

Цитата:

Развивая далее математическую формулировку принципа суперпозиции, мы должны ввести предположение, что, производя наложение некоторого состояния самого на себя, мы не можем получить никакое новое состояние - в результате такого наложения состояние не изменится. Если исходному состоянию соответствует кет-вектор A, то полученному после суперпозиции состоянию будет соответствовать кет-вектор
$c_1 \cdot A+c_2 \cdot A=(c_1+c_2)\cdot A$
где c1 и c2 - некоторые числа...

дальше из этого они делают вывод:

Цитата:

если кет-вектор, соответствующий некоторому состоянию, умножить на любое не равное нулю комплексное число, то полученный кет вектор будет соответствовать тому же состоянию.

как это вяжется с суперпозицией двух состояний?
например, имеем кеты A и B. Их суперпозиция $A+B=R$. вполне себе ясно и понятно пока что.
но A это же не только A, это же еще и $c_1 \cdot A$, например. И B - не только B, а еще и $c_2 \cdot B$
но вот только эта сумма уже может иметь совершенно не то направление, что и R.
т.е. из $c_1\cdot A$ и $c_2\cdot B$ не получится $c_3\cdot R$, хотя должен бы по смыслу задуманного

[physicsworks]

granit201z в сообщении #1461902 писал(а):

(почему одним то комплексным?, когда двумя - c1 и c2)

потому что (из той же цитаты)

Цитата:

Таким образом, для определения состояния R существенно лишь отношение обоих коэффициентов

например, помножьте $R$ на $1/c_1$ ($c_1$ не нуль по определению суперпозиции ненулевых состояний) и увидите, что $R$ определяется отношением коэффициентов.

Попробуйте на остальные вопросы ответить самостоятельно.

[granit201z]

physicsworks в сообщении #1461905 писал(а):

например, помножьте $R$ на $1/c_1$ ($c_1$ не нуль по определению суперпозиции ненулевых состояний) и увидите, что $R$ определяется отношением коэффициентов.

а тут на меня нападает какая-то неопределенность.
ведь постулируется что нет разницы между $R$ и $(1/c_1) \cdot R$. Тогда по каким именно правилам помножать?
$(1/c_1) \cdot R = R = c_1 \cdot A + c_2 \cdot B$
или все-таки:
$(1/c_1) \cdot R = A + c_2/c_1 \cdot B$? Но тогда не получается что $(1/c_1) \cdot R = R$. Как они тогда могут представлять одно и то же состояние?

-- 11.05.2020, 21:11 --

granit201z в сообщении #1461908 писал(а):

Но тогда не получается что $(1/c_1) \cdot R = R$

хотя подождите, я засомневался. мне нужно это обдумать

[physicsworks]

granit201z в сообщении #1461908 писал(а):

ведь постулируется что нет разницы между $R$ и $(1/c_1) \cdot R$. Тогда по каким именно правилам помножать?

Состояние квантовой системы --- луч в Гильбертовом пространстве. Луч --- это множество ненулевых векторов, отличающихся (комплексным) множителем. Любой вектор из этого множества представляет состояние (обычно выбирают тот, у которого норма единица). Так что когда вы домножаете равенство $|R\rangle = c_1 |A\rangle + c_2 |B\rangle$ на ненулевой множитель $1/c_1$, справа получаете $|A\rangle + \frac{c_2}{c_1} |B\rangle$, а слева, ввиду эквивалентности выше, снова $|R\rangle$, потому что $|R\rangle$ и $\frac{1}{c_1} |R\rangle$ это одно и то же состояние.

насчет "дважды бесконечной последовательности" здесь два момента:
1) это неверный перевод оригинала (на языке оригинала там twofold infinity of states) --- читайте в оригинале;
2) это устаревший термин (первое издание вышло все-таки в 1930-м и эта глава не изменялась, если я правильно помню). Здесь Дирак имел ввиду двумерное многообразие в виде сферы Блоха: каждому возможному состоянию $R$ соответствует точка на сфере $S^2$, которая задается двумя вещественными параметрами. Математически, здесь прослеживается диффеоморфизм между проективной комплексной прямой $\mathbb{CP}^1$ (представляющей двумерное Гильбертово пространство) и 2-сферой $S^2$.

[granit201z]

physicsworks в сообщении #1461912 писал(а):

справа получаете $|A\rangle + \frac{c_2}{c_1} |B\rangle$, а слева, ввиду отождествления выше, снова $|R\rangle$, потому что $|R\rangle$ и $\frac{1}{c_1} |R\rangle$ это одно и то же состояние.

но ведь это требование (любой вектор на луче) должно быть справедливо и для $|A\rangle$. И тогда должно получиться, что, например, $|A\rangle + \frac{c_2}{c_1} |B\rangle = {c_1}|A\rangle + \frac{c_2}{c_1} |B\rangle = {c_2}|A\rangle + \frac{c_2}{c_1} |B\rangle= {c_x}|A\rangle + \frac{c_2}{c_1} |B\rangle$, где $c_x$ вообще любое произвольное комплексное число кроме нуля.
Но ведь это же противоречие. А значит $|A\rangle$ в каких-либо конкретных условиях (хоть взять уравнение выше) - не может рассматриваться как любой вектор, снятый с одного луча. Но это же значит, что и $|R\rangle$ таковым быть не может. Разве нет? Что не так в моих размышлениях? Чего я не учитываю?

[physicsworks]

granit201z нет, относительная фаза между двумя состояниями $|A \rangle$ и $|B \rangle$ в суперпозиции $|R\rangle = c_1 |A \rangle + c_2 |B \rangle $ как раз-таки измерима, поэтому нельзя ее просто так фиксировать. Т.е., состояния $c_1 |A \rangle + c_2 |B \rangle$ и $c (c_1 |A \rangle + c_2 |B \rangle )$ --- эквиваленты, но они НЕ эквиваленты, например, состоянию $c_1 |A \rangle + c \cdot c_2 |B \rangle $, где $c$ --- ненулевое комплексное число.

[granit201z]

physicsworks в сообщении #1461912 писал(а):

Математически, здесь прослеживается диффеоморфизм между проективной комплексной прямой $\mathbb{CP}^1$ (представляющей двумерное Гильбертово пространство) и 2-сферой $S^2$.

Простите, я не совсем понимаю, что такое проективная комплексная прямая. Я вполне могу представить себе "комплексную плоскость", каждая точка которой соответствует некоторому комплексному числу, но не понимаю, как это трансформируется в прямую

[physicsworks]

granit201z, об этой математической детали пока можете не думать. Если все остальное понятно, можно читать дальше Дирака.

[g______d]

granit201z в сообщении #1461902 писал(а):

например, имеем кеты A и B. Их суперпозиция $A+B=R$. вполне себе ясно и понятно пока что.
но A это же не только A, это же еще и $c_1 \cdot A$, например. И B - не только B, а еще и $c_2 \cdot B$
но вот только эта сумма уже может иметь совершенно не то направление, что и R.
т.е. из $c_1\cdot A$ и $c_2\cdot B$ не получится $c_3\cdot R$, хотя должен бы по смыслу задуманного

Суперпозиция состояний, вообще говоря, не определена на классах эквивалентности. Если $a, a'$ -- два вектора, представляющих одно и то же состояние, и $b,b'$ -- другое состояние, то это не значит, что $a+b$ и $a'+b'$ представляют одно и то же состояние.

(это то же самое, но другими словами).

[granit201z]

g______d в сообщении #1461927 писал(а):

Суперпозиция состояний, вообще говоря, не определена на классах эквивалентности.

в общем, все понятно за исключением термина "классы эквивалентности". что Вы имеете ввиду?

-- 11.05.2020, 22:50 --

physicsworks в сообщении #1461925 писал(а):

Если все остальное понятно, можно читать дальше Дирака.

спасибо, пока вроде все понятно