Учебник по аналитической геометрии

[oleg.k]

Посоветуйте пожалуйста строгий учебник по аналитической геометрии в стиле Бурбаков/Зорича. Спокойный, обстоятельный, строгий, подробный учебник. В идеале какую-нибудь монографию. Может быть это важно, что я аналитическую геометрию не учу с нуля, а повторяю, поэтому все эти курсы для инженеров мне абсолютно не подходят. Условно говоря, я хочу не научиться складывать вектора, "совмещая точечки у стрелочек", чтобы механически решать задачи, а хочу длинного обстоятельного рассказа. Если говорить про векторы, то я этот рассказ вижу примерно так: декартово произведение $\to$ $n$-арные отношения $\to$ отношение эквивалентности $\to$ классы эквивалентности $\to$ фактормножество $\to$ отображение факторизации $\to$ согласованность отношения эквивалентности с алгебраическими операциями $\to$ направленные отрезки $\to$ их эквивалентность $\to$ склейка в вектора (классы эквивалентности) $\to$ различные варианты склеек (свободные, скользящие, связанные вектора) $\to$ ... $\to$ изоморфизм векторов со сложением и параллельных переносов с композицией $\to$ ... А то открываю книгу, на первой странице "вектор - это направленный отрезок, введем сумму векторов...".

Мне крайне важно, чтобы в учебнике в доказательствах был по минимуму использован синтетический подход (т.е. "наглядный") и по максимуму аналитический (числа, координаты). На примере векторов - все базовые доказательства свойств векторов легко проводятся в координатах, без всяких параллелограммов, подобия, рассмотрения 10 разных случаев и прочего. Не понимаю, как эти вещи вообще попали в курсы аналитической геометрии. Но для этого надо формулировать теоремы из разряда "координаты единственны", "если направленные отрезки эквивалентны, то их координаты совпадают", "если координаты совпадают, то направленные отрезки эквивалентны" и тому подобные. А все, кого я листал, почему то считают, что это очевидно/несущественно и вообще не стоит упоминания.

Сейчас читаю Ильина-Позняка, читать невозможно.

[arseniiv]

oleg.k в сообщении #1461762 писал(а):

Может быть это важно, что я аналитическую геометрию не учу с нуля, а повторяю, поэтому все эти курсы для инженеров мне абсолютно не подходят.

(Оглядывается по сторонам.) Посмотрите в сторону учебников линейной алгебры.

oleg.k в сообщении #1461762 писал(а):

направленные отрезки $\to$ их эквивалентность $\to$ склейка в вектора (классы эквивалентности) $\to$ различные варианты склеек (свободные, скользящие, связанные вектора)

Да ну нужны они вам все эти отрезки. Последняя трихотомия — вообще как «релятивистская масса», совершенно натуральный историзм. Всё можно устроить обычными векторами, просто иногда они например образуют векторное поле на чём-то и т. д..

Вообще про отрезки можно будет что-то сказать, введя аффинное пространство. Аффинное пространство — это такая куча элементов, которые обычно зовут точками, на которой векторы из некоторого линейного пространства действуют параллельными переносами (если эту кучу точек попробовать визуализировать), каждый своим собственным переносом и каждый перенос реализуется хоть каким-то вектором. (Математически говоря, действие векторов на точках (как группы на множестве) транзитивное и свободное. Вместо направленных отрезков лучше взять упорядоченные пары точек. Всё можно будет тривиально вывести на коленке без дополнительных учебников, и автоматически над любым полем, а не только $\mathbb R$.

-- Пн май 11, 2020 03:53:07 --

А для применений аналитической геометрии нужно всего-то будет показать, что $\mathbb R^n$ — векторные пространства (и аффинные), плюс позже что притом и евклидовы (с традиционным скалярным произведением $x_1 y_1 + \ldots + x_n y_n$). А определять векторы хитроумным и нерасширяемым способом не придётся.

[oleg.k]

arseniiv в сообщении #1461768 писал(а):

Посмотрите в сторону учебников линейной алгебры.

Вот да, важный момент. Я бы хотел разобраться именно с геометрией. Да, векторы можно ввести аксиоматически, как элементы векторного пространства. Все эти "геометрические" коллинеарности/компланарности можно ввести, используя критерии (т.е. взять критерии из геометрии и сделать их определениями). Но это все не то. Мне надо по косточкам разобрать геометрическую составляющую. Т.е. мне будет больше интересно обоснование векторов, их связь с акиомами и прочее.

-- 11.05.2020, 02:08 --

arseniiv в сообщении #1461768 писал(а):

А для применений аналитической геометрии нужно всего-то будет показать, что $\mathbb R^n$ — векторные пространства (и аффинные)...

Тут еще нужен разговор про аксиомы, модели и т.д.

[arseniiv]

Линейная алгебра как минимум даёт бескоординатный язык для аналитической геометрии, хотя бы уж точно линейной и проективной её частей; можно уехать при желании и чуть дальше (но я там не разбираюсь). Например каково уравнение плоскости, параллельной плоскости $\langle u, v\rangle$ и содержащей $w$? Пожалуйста: $x\wedge u\wedge v = w\wedge u\wedge v$ ($\wedge$ — внешнее произведение); притом конструкция чисто аффинная, евклидовости не требующая, но если та будет, мы можем узнать расстояние между этими двумя плоскостями как $\lVert w\wedge u\wedge v\rVert / \lVert u\wedge v\rVert$ (где нормы евклидовы и получаются доопределением скалярного произведения с основного векторного пространства на его внешние степени). У всего потом есть формулы для вычисления в координатах. А, но формулы я вывел на основе простых визуальных конструкций — параллелограмм на $u, v$, параллелепипед на нём и $w$, или нём и $x$; кроме того, всё также легко вывести исходя из [линейно-]алгебраических соображений.

Воодушевлять я конечно не умею, но вдруг сработает.

oleg.k в сообщении #1461773 писал(а):

Тут еще нужен разговор про аксиомы, модели и т.д.

Никакого особенного кроме бытового, не понадобится. Линейное пространство (и что угодно) — это множество с подходящим набором операций, для которых выполняются утверждения, названные аксиомами линейного пространства.

-- Пн май 11, 2020 04:19:09 --

oleg.k в сообщении #1461773 писал(а):

Т.е. мне будет больше интересно обоснование векторов, их связь с акиомами и прочее.

Ну там же даже страниц пять даже не написать, всё довольно коротко. Если не вводить более общие понятия, нужные не только для этих вещей, в том же изложении, а не раньше. И это если я правильно понял «обоснование векторов».

-- Пн май 11, 2020 04:19:44 --

И кстати предыдущая тема про обоснование разве не очень помогла с этим?

-- Пн май 11, 2020 04:20:35 --

В общем я не уверен, что бывают книги, где будет настолько формально рассмотрен такой простой и не очень полезный для остальной математики вопрос.

[novichok2018]

Мне нравится старый учебник Мусхелишвили, добротная подробная книга.

[Brukvalub]

Первый том пятитомника Постникова.

[oleg.k]

arseniiv в сообщении #1461774 писал(а):

И кстати предыдущая тема про обоснование разве не очень помогла с этим?

Предыдущая тема помогла мне доказать все основные свойства векторов без всяких синтетических рассуждений про параллелограммы, подобие и прочее. Я потратил 2 дня, чтобы разобраться во всей этой синтетической мути, и 5 минут для того, чтобы доказать все в координатах. Что касается обоснования векторов, то я так и не понял, как оно делается. Я для себя этот вопрос решил так (напишу для плоскости, для прямой или пространства аналогично): сначала вводится ДПСК, устанавливается взаимнооднозначное соответствие между парами чисел и точками, вводится понятие координат вектора, доказываются все эти теоремы о существовании/единственности/равенстве координат, доказываются теоремы про связь координат векторов и операций с векторами, и по итогу получаем инвариантный относительно системы координат векторный аппарат, который по сути является лишь сокращенной формой выкладок в ДПСК. Ну т.е. первична ДПСК, а не векторы. Именно она осуществляет "переходный мостик" между геометрией и алгеброй.

[arseniiv]

А, ну если без координат и на «школьной/синтетической плоскости», то мимо параллелограммов вы не пройдёте. Но если параллелограммы определить удобно, разрешая вырожденные, то должно быть всё хорошо.

[arseniiv]

(На правах оффтопа)

У меня на примете ещё есть странненькая аксиоматизация (евклидова, но ту часть брать не обязательно) аффинного пространства без нужды в векторном, довольно понятная вроде. Может, вам интересно будет с ней повозиться.

Имеется множество $A$ (точек) c операциями $[{-}, {-}, {-}]\colon A^3\to A$, $\langle{-}, {-}, {-}\rangle\colon A\times\mathbb R\times A\to A$ и $|{-}, {-}|\colon A^2\to\mathbb R$. Неформально, $[b, a, c]$ означает точку, дополняющую $abc\ldots$ до параллелограмма, равную $a + \overrightarrow{ab} + \overrightarrow{ac}$; $\langle o, s, a\rangle$ означает точку, в которую отображается $a$ при растяжении (гомотетии) пространства вокруг $o$ в $s$ раз; и $|a, b|$ означает расстояние между $a, b$. Аксиоматизируется это всё так:

Во-первых говорится, что $A$ по $[\ldots]$ коммутативная груда:

$$\begin{array}{ll} (\mathsf{Ha}) & [a, b, [c, d, e]] = [[a, b, c], d, e]; \\ (\mathsf{Hi}) & [a, b, b] = [b, b, a] = a; \\ (\mathsf{Hc}) & [a, b, c] = [c, b, a]. \end{array}$$

Можно говорить, что этим охарактеризован параллельный перенос. Во-вторых характеризуется гомотетия (я некогда пытался это более алгебраично оформить, как делают с умножением на скаляр в векторных пространствах, но не очень преуспел, так что эта группа аксиом не будет лаконично названа «по этой операции это то-то»):

$$\begin{array}{ll} (\mathsf{Sa}) & \langle a, st, b\rangle = \langle a, s, \langle a, t, b\rangle\rangle; \\ (\mathsf{Si}) & \langle a, 1, b\rangle = b; \\ (\mathsf{Sd_1}) & \langle a, s, b\rangle = [\langle a, s, c\rangle, c, \langle c, s, b\rangle]; \\ (\mathsf{Sd_2}) & \langle a, s + t, b\rangle = [\langle a, s, b\rangle, a, \langle a, t, b\rangle]. \end{array}$$

Эта часть проворачивается в принципе и для любого кольца с единицей вместо $\mathbb R$. Но вот дальше нам потребуется, чтобы оно было вещественными числами. Характеризуется евклидова структура через аккуратное переписывание аксиом нормы в наших терминах, с добавлением тождества параллелограмма Dh:

$$\begin{array}{ll} (\mathsf{Dp}) & |a, b| = 0 \Longrightarrow a = b; \\ (\mathsf{D\triangle}) & |a, c| \leqslant |a, b| + |b, c|; \\ (\mathsf{DS}) & |a, \langle a, s, b\rangle| = |s|\, |a, b|; \\ (\mathsf{Dh}) & |b, [a, b, c]|^2 + |a, c|^2 = 2|a, b|^2 + 2|b, c|^2; \\ (\mathsf{Dt}) & |a, b| = |c, [a, b, c]|. \end{array}$$

Это не очень удобная группа аксиом, и в принципе можно было бы взять вместо $|\ldots|$ ещё одну тернарную операцию* $\{\ldots\}$, воплощающую скалярное произведение, но аксиомы для неё могут быть сочтены не такими наглядными (для нужд синтетического-то «элементарного» подхода). На всякий случай приведу их для сравнения и лучшей защиты от ошибок:

$$\begin{array}{ll} (\mathsf{Ip}) & a\ne b \Longrightarrow \{b, a, b\} > 0; \\ (\mathsf{Ic}) & \{b, a, c\} = \{c, a, b\}; \\ (\mathsf{IH}) & \{[b, a, c], a, d\} = \{b, a, d\} + \{c, a, d\}; \\ (\mathsf{IS}) & \{\langle a, s, b\rangle, a, c\} = s\{b, a, c\}; \\ (\mathsf{It}) & \{b, a, c\} = \{[b, a, d], d, [d, a, c]\}. \end{array}$$

Выводить эти аксиомы через D-аксиомы через теорему о поляризации очень муторно. (Это муторно и в нормальном изложении с векторами, а тут из-за увеличения сущностей на одну в каждой операции — чего увы нельзя избежать — получается ещё более.)

* Три тернарные операции! Эстетика!

Разумеется, без методической помощи тут чёрт ногу сломит. Сначала например стоит вывести полезные вещи типа $[[a, b, c], d, e] = [a, [d, c, b], e]$ и после этого вообще перестать писать вложенные квадратные скобки, позволив операции с любым нечётным числом операндов, притом стоящие на нечётных местах можно свободно обменивать между собой, и стоящие на чётных — между собой, кроме того избавляясь от пары рядом стоящих одинаковых операндов (вот и вся коммутативная груда). Выводится возможность сокращать по паре совпадающих аргументов, потому что $[b, a, [a, b, c]] = c$. Переходя к гомотетии, полезно установить $\langle a, 0, b\rangle = a$, $\langle a, -1, b\rangle = [a, b, a]$, $[c, a, b] = [\langle c, -1, a\rangle, c, b]$. Переходя к расстояниям, пригодится установить ещё больше всяких лемм. И ещё здесь никак не помянуты углы, которые определить можно будет далеко не сразу, но наверно полезно попытаться.

[oleg.k]

novichok2018 в сообщении #1461783 писал(а):

Мне нравится старый учебник Мусхелишвили, добротная подробная книга.

Brukvalub в сообщении #1461792 писал(а):

Первый том пятитомника Постникова.

Спасибо. Постников прям то что доктор прописал.

[novichok2018]

А вообще один из лучших учебников аналитической геометрии с упором на кривые второго порядка - это Коники Аполлония. Там под тысячу теорем или больше, из которых мы и десяти не знаем.

[arseniiv]

Оказалось, Постников у меня тоже есть, почитал вчера, и это вообще шикарная книга, подробно так, прям душевно разговаривает с тобой.

novichok2018 в сообщении #1462574 писал(а):

Там под тысячу теорем или больше, из которых мы и десяти не знаем.

Нужна ли только тысяча теорем, не оформленная в виде справочника? В них ногу сломишь, если попытаться применять их, и разве что доказательство их всех вместе с автором может научить умным ходам — но побочного эффекта для тех читателей, которые не интересуются специфически коническими сечениями, будет наверно немного. И потом я не уверен, не излагается ли вся целиком теория кривых второго порядка компактнее и обозримее в современных учебниках, пройдя какой-никакой отбор. А то в соседнем разделе одни сначала Дирака советуют (ничего не могу сказать, наверно и правда хорошо написал), а потом другие ругают, а тот, кому посоветовали, между молотом и наковальней.