Помогите проинтегрировать

[ioleg19029700]

У меня есть ОДУ $\ddot{x}=u$ и условия $x(0)=0, \, \dot{x}(0) = 0, \, x(T) = x_{T}, \, \dot{x}(T) = 0 $. $u - $ неизвестная функция и я хочу получить интегральные ограничения на неё.
Итак, первое интегрирование происходит очень просто: $\int\limits_{0}^t \ddot{x}d\tau = \int\limits_{0}^t u(\tau)d\tau \Rightarrow \dot{x}(t) - \dot{x}(0) = \int\limits_{0}^t u(\tau)d\tau$. В силу краевых условий получаем первое интегральное ограничение: $\int\limits_{0}^T u(\tau)d\tau = 0$

Теперь нужно проинтегрировать $\dot{x}(t) = \int\limits_0^t u(\tau)d\tau$. Т.к. справа стоит интеграл с переменным верхним пределом, то по сути имеем $\dot{x}(t) = f(t)$, где $f(t) = \int\limits_0^t u(\tau)d\tau$. Таким образом, $x(t) - x(0) = \int\limits_0^t f(s)ds = \int\limits_0^t \int\limits_0^s u(\tau)d\tau ds$. Каким-то образом должно получиться $x(t) = \int\limits_0^t (t-s)u(s)ds$. Я не могу понять как прийти к такому виду. То ли я запутался в обозначениях этих переменных, по которым происходит интегрирование, то ли тут просто есть какой-то простой физ. смысл. Но я не могу понять как прийти к такому виду, хотя если продифференцировать по формуле Лейбница, то вроде бы все и правда правильно. Помогите пожалуйста.

[Otta]

ioleg19029700
Порядок интегрирования поменяйте.

[Pphantom]

Возьмите интеграл $\int\limits_0^t f(s)\,ds$ по частям, аккуратно упростив получившееся.

[Утундрий]

Вопрос был "как прийти". А никак. Заметить и запомнить.

[H14sk]

Так называемое, сведение двойного интеграла к повторному, это ж цельная теорема...
Ещё последний интеграл - частный случай т.н. свёртки.