2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите проинтегрировать
Сообщение10.05.2020, 18:20 


21/12/16
73
У меня есть ОДУ $\ddot{x}=u$ и условия $x(0)=0, \, \dot{x}(0) = 0, \, x(T) = x_{T}, \, \dot{x}(T) = 0 $. $u - $ неизвестная функция и я хочу получить интегральные ограничения на неё.
Итак, первое интегрирование происходит очень просто: $\int\limits_{0}^t \ddot{x}d\tau = \int\limits_{0}^t u(\tau)d\tau \Rightarrow \dot{x}(t) - \dot{x}(0) = \int\limits_{0}^t u(\tau)d\tau$. В силу краевых условий получаем первое интегральное ограничение: $\int\limits_{0}^T u(\tau)d\tau = 0$

Теперь нужно проинтегрировать $\dot{x}(t) = \int\limits_0^t u(\tau)d\tau$. Т.к. справа стоит интеграл с переменным верхним пределом, то по сути имеем $\dot{x}(t) = f(t)$, где $f(t) = \int\limits_0^t u(\tau)d\tau$. Таким образом, $x(t) - x(0) = \int\limits_0^t f(s)ds = \int\limits_0^t \int\limits_0^s u(\tau)d\tau ds$. Каким-то образом должно получиться $x(t) = \int\limits_0^t (t-s)u(s)ds$. Я не могу понять как прийти к такому виду. То ли я запутался в обозначениях этих переменных, по которым происходит интегрирование, то ли тут просто есть какой-то простой физ. смысл. Но я не могу понять как прийти к такому виду, хотя если продифференцировать по формуле Лейбница, то вроде бы все и правда правильно. Помогите пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите проинтегрировать
Сообщение10.05.2020, 18:32 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
ioleg19029700
Порядок интегрирования поменяйте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите проинтегрировать
Сообщение10.05.2020, 18:35 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Возьмите интеграл $\int\limits_0^t f(s)\,ds$ по частям, аккуратно упростив получившееся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите проинтегрировать
Сообщение10.05.2020, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12519
Вопрос был "как прийти". А никак. Заметить и запомнить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите проинтегрировать
Сообщение11.05.2020, 07:47 
Аватара пользователя


05/06/08
87
Так называемое, сведение двойного интеграла к повторному, это ж цельная теорема...
Ещё последний интеграл - частный случай т.н. свёртки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group