Обозначение функции

[Solaris86]

provincialka в сообщении #1461304 писал(а):

Тяжелый случай... умываю руки

Только используйте проверенный сантитайзер, чтобы наверняка руки были не только чистыми, но и стерильными.

[arseniiv]

Solaris86 в сообщении #1461302 писал(а):

Вот не думал, что и постоянные можно в эту скобку добавлять...

Если у нас есть функция $F\colon A_1\times\ldots\times A_n\to B$, то конечно мы можем написать $F(a_1,\ldots,a_n)$ для любых $a_i\in A_i$. В определении на первой странице $F$ — это какая-то функция, главное что известная нам, и мы можем вычислять её от любого набора аргументов. А дифур — это уравнение вида $F(x, y, y', \ldots) = 0$. Тут $F$ уже используется конкретным образом и константы ей аргументами не подаются по определению. Можно было бы сделать более сложное определение, где они бы подавались, но оно окажется эквивалентным такому, так что смысла в нём нет; смысл в том, что если мы можем подобрать какую-то $F$, что интересующее нас уравнение запишется как $F(x, y, y', \ldots) = 0$, то значит оно дифференциальное уравнение, а если не можем, то не дифференциальное: например $\int_0^x f(t)\,dt = f(x) + f''(1)$ — не дифур.

[deep blue]

(Оффтоп)

Dementor в сообщении #1461193 писал(а):

До сих пор пользовался взглядом Дирихле на понятие функции, который понимал её не как правило перехода от аргумента к значению, а как множества пар значение аргумента - значение функции. Т.е., воспринимал запись $F(...) = 0$ как множество тех и только тех значений фиксированных переменных, композиция которых обращается в ноль.

Если неявная функция локально монотонна, то она эквивалентна явной функции на интервале. Так что за вычетом особых точек, где локальной монотонности нету, оба понятия эквивалентны и лучше пользоваться более простым. К примеру в матанализе разговор о неявных функциях начинается с теоремы о существовании, которая вместе с существованием неявной функции ... устанавливает и существование явной . Другое дело что уравнение неявной функции может выглядеть проще чем уравнение явной, что может дать какой-то профит.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Да «взгляд Дирихле» — это тоже обычные функции, не многозначные, описывает. Вообще странно говорить о каком-то отдельном взгляде Дирихле, когда классическая математика — бо́льшая часть всей — уже давным-давно функцию определяет как плюс-минус набор пар, и никто ни о каких «правилах перехода от аргумента к значению» там не думает.

[Sicker]

newUser23 в сообщении #1461306 писал(а):

Или всегда представляем какую-то одну частную реализацию, но в голове держим вырожденные случаи и тем самым рассматриваем несколько вариантов?

На ваш вопрос уже ответили
страх перед нулем и единицей

-- 09.05.2020, 21:56 --

newUser23 в сообщении #1461306 писал(а):

Вот коварная эта запись. Очевидно, правильный ответ $n$ равенств.

Кстати, этот ответ будет верен и при $n=0$, т.е. в
$A_1=B_1$

$. . .$

$A_0=B_0$
у нас ноль неравенств
На форуме уже обсуждалось (правда там с пределами у сумм)

[newUser23]

Sicker в сообщении #1461440 писал(а):

На ваш вопрос уже ответили
страх перед нулем и единицей

Там в основном про $0^0$. А я скорее про вырожденные случаи вообще. И даже не про сами случаи, а про их неформальный образ в голове. Понятно дело, что все эти определения и доопределения нужны для того, чтобы теоремы красивее звучали (т.е. чтобы было меньше ограничений и всяких условий применимости теорем, иными словами большая общность). Но проблема в том, что неформальный образ математического понятия и определение этого понятия могут конфликтовать.

Sicker в сообщении #1461440 писал(а):

Кстати, этот ответ будет верен и при $n=0$

provincialka насколько я понял говорила про ситуацию в школе. А там натуральные с единицы начинаются. Если натуральные начинаем с нуля, то да, можно и про $0$ равенств говорить. Вот только это не добавит здоровья голове

-- 10.05.2020, 00:23 --

Sicker в сообщении #1461440 писал(а):

$A_1=B_1$

$. . .$

$A_0=B_0$
у нас ноль неравенств

А так нельзя. Индексы нижнего должны быть не меньше первого. Т.е. Ваш пример должен как-то так выглядеть:
$A_0=B_0$

$. . .$

$A_0=B_0$



Но тогда тут 1 равенство... Просто нумерация с нуля начинается.

А я про ноль равенств. Ноль равенств это они как бы написаны, но их нету

[Sicker]

newUser23 в сообщении #1461463 писал(а):

А так нельзя.

Можно

newUser23 в сообщении #1461463 писал(а):

. Индексы нижнего должны быть не меньше первого.

Можно обобщить на случай, когда нижний индекс меньше верхнего, причем в случае разницы на единицу в этом нет ничего незаконного
Почитайте мою тему на счет этого)
сумма ряда

[Lia]

Sicker
Это учебный раздел, не путайте ТС, ссылаясь на Дискуссионный.

[kotenok gav]

newUser23 в сообщении #1461463 писал(а):

Индексы нижнего должны быть не меньше первого.

Не должны. Просто если они меньше, то равенств ноль. Чему равна мощность множества $\{x\in Z\mid1\leq x\leq0\}$?

[newUser23]

Sicker в сообщении #1461488 писал(а):

Можно

kotenok gav в сообщении #1461520 писал(а):

Не должны.

А почему, объясните? А то мне как-то не очень верится.

Sicker в сообщении #1461488 писал(а):

Почитайте мою тему на счет этого)
сумма ряда

Не, ну с суммами то я вообще не спорю. Там все вполне прозрачно.

kotenok gav в сообщении #1461520 писал(а):

Чему равна мощность множества $\{x\in Z\mid1\leq x\leq0\}$?

По определению двойного неравенства, нам нужны числа $x \in \mathbb{Z}$, удовлетворяющие одновременно двум неравенствам $x \geqslant 1$ и $x \leqslant 0$. Таких нет, значит $\{x\in Z\mid1\leq x\leq0\} = \varnothing$. Мощность пустого множества равна нулю. Только пример то не в кассу. В определении двойного неравенства $a < b < c$ нету требования $a < c$. По определению $a < b < c := (a < b) \wedge (b < c)$. Т.е. $3 < 2 < 1$ является всего навсего неверным числовым неравенством. А в примере
$A_0 = B_0$
$A_1 = B_1$
...
$A_n = B_n$
индексы нижнего должны быть не меньше верхнего по определению такой записи. Да, наверное можно все это дело расширить и использовать для нумерации целые числа, а не натуральные и тогда этого требования не будет. Но пока в рамках договоренности индексы принимают только натуральные значения.

[Sicker]

newUser23 в сообщении #1461562 писал(а):

Да, наверное можно все это дело расширить и использовать для нумерации целые числа, а не натуральные и тогда этого требования не будет. Но пока в рамках договоренности индексы принимают только натуральные значения.

Дык запишите
$A_2=B_2$

$...$

$A_1=B_1$
делов то

[newUser23]

Sicker в сообщении #1461576 писал(а):

$A_2=B_2$

$...$

$A_1=B_1$

Ладно, видимо я просто неспособен воспринимать такие записи Короче говоря, очередной бессмысленный и беспощадный терминологический спор ни о чем.

[arseniiv]

(Оффтоп)

newUser23 в сообщении #1461463 писал(а):

Понятно дело, что все эти определения и доопределения нужны для того, чтобы теоремы красивее звучали (т.е. чтобы было меньше ограничений и всяких условий применимости теорем, иными словами большая общность).

Интересное место тут как раз в том, что часто это не доопределения, а наоборот, исходные определения были искусственно ограниченными. Но это действительно тут оффтоп.

[kotenok gav]

Просто формализование такой записи равенств - и есть $\{A_i=B_i\mid i\in Z, a\leq i\leq b\}$.

-- 11 май 2020, 01:02 --

Запись $A_0=B_0$ ... $A_1=B_1$ неверна сама по себе. У нее нет четкого определения. Формализовывание такой записи -

kotenok gav в сообщении #1461624 писал(а):

$\{A_i=B_i\mid i\in Z, a\leq i\leq b\}$

.