Комплексные амплитуды

[Solaris86]

Фрагмент из учебника по ТОЭ. Помогите понять, как получаются переходы и 1 и 2.

[Xaositect]

Второй - это потому, что $e^{j \frac{\pi}{2}} = (\cos \frac{\pi}{2} + j \sin \frac{\pi}{2}) = j$. А первый должен объясняться в параграфе, который стоит перед тем, что "Для обратного перехода ..."

[Solaris86]

Спасибо!

[Alex-Yu]

Solaris86 в сообщении #1461451 писал(а):

Помогите понять, как получаются переходы и 1 и 2.

Помнится, в мою раннестудентческую бытность я этого тоже не понимал, а на занятиях толкового объяснения никто не давал (в том числе и в качестве ответа на мой прямой вопрос). Несли какую-то чушь. Пришлось самому додумывать.

А дело тут вот в чем. Пусть у нас есть действительная линейная система. Тогда, зная ее отклик на воздействие $e^{i\omega t}$, мы без проблем знаем и отклик на комплексно-сопряженное возбуждение $e^{-i\omega t}$. Это просто комплексное сопряжение от предыдущего отклика. Реальное воздействие -- это $\cos\omega t$. Но это ничто иное, как $(1/2)(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t})$. Система линейная, поэтому отклик на сумму воздействий равен сумме откликов на каждое воздействие. Так что получается, что отклик на реальное воздействие в виде косинуса -- это сумма отклика на комплексную экспоненту и комплексного сопряжения от него (ну, 1/2 -- это понятно, я опускаю для краткости). А такая сумма -- это просто действительная часть. Вот и получается, что вместо косинуса (который на самом деле) можно взять комплексную экспоненту, а потом, в итоге, еще взять действительную часть от отклика на эту комплексную экспоненту.

Обратите внимание, что этот "номер" проходит только для линейных систем. А то некоторые деятели, бывает, и для нелинейных пытаются нечто подобное делать.

К сожалению, в учебниках ТОЭ вместо этого обычно несут какой-то бессмысленный бред со словами "оригинал" и ""изображение". Не объясняя при этом, а почему (и когда!), собственно, можно делать такие замены. Возможно, есть такие учебники, где это объясняется, но я таковых не видел. Везде в стиле "делай так, как умные дяденьки сказали, а почему -- это не твоего ума дело". Подозреваю, что и для таких авторов учебников тоже не их ума дело, начетчики, сами ничего не понимают.

[realeugene]

Alex-Yu в сообщении #1461578 писал(а):

Обратите внимание, что этот "номер" проходит только для линейных систем.

Важно, что это проходит для линейных систем с действительными коэффициентами.