построение: четырехугольник пополам

[slavav]

Решить задачу возможно так как она сводится к решению квадратного уравнения. Можно вывести уравнение, можно показать как получить его коэффициенты, как его решить. Всё вместе это составит довольно трудоёмкую процедуру, которую можно воспроизвести в Геоджебре, например.

[mihatel]

slavav в сообщении #1459649 писал(а):

Решить задачу возможно так как она сводится к решению квадратного уравнения. Можно вывести уравнение, можно показать как получить его коэффициенты, как его решить. Всё вместе это составит довольно трудоёмкую процедуру, которую можно воспроизвести в Геоджебре, например.

Я не понимаю. Если можете - покажите. Для треугольника готов согласиться, и то с некоторой натяжкой. Или пусть еще несколько подтвердят ваши слова и я дальше пойду...

[vorvalm]

Markiyan Hirnyk прав.
Центр масс (центр тяжести) выпуклого 4-х угольника легко находится
Проводим диагональ, получаем два тр-ка. Находим центры масс каждого
Расстояние между центрами масс делим пропорционально высотам треугольников на диагональ.

[slavav]

vorvalm в сообщении #1460595 писал(а):

Центр масс (центр тяжести) выпуклого 4-х угольника легко находится

А зачем вы ищете центр масс?

[vorvalm]

Markiyan Hirnyk прав.

[slavav]

Прямая проходящая через центр масс фигуры не обязательно делит её на равные по площади части. Примеры можно привести и для треугольника, и для выпуклого четырёхугольника.

Полагаю что можно доказать теорему: если некоторая выпуклая фигура делится на равные по площади части любой прямой проходящей через её центр масс, то эта фигура центрально симметрична.

[vorvalm]

slavav в сообщении #1460639 писал(а):

Прямая проходящая через центр масс фигуры не обязательно делит её на равные по площади части. Примеры можно привести и для треугольника, и для выпуклого четырёхугольника.

Пожалуйста, приведите.

[slavav]

mihatel, есть две трудности. В разделе ПР/Р я не имею права показать вам решение, кроме того я не имею большого опыта с такими построениями. Если хотите, я предложу вам решить несколько задач. Если вы их успешно решите (а я их решил), вы уверитесь, что четырёхугольник можно разделить пополам циркулем и линейкой прямой проходящей через заданную точку. Предупреждаю, что мой способ достаточно трудоёмкий.

-- 06.05.2020, 19:43 --

vorvalm в сообщении #1460665 писал(а):

slavav в сообщении #1460639 писал(а):

Прямая проходящая через центр масс фигуры не обязательно делит её на равные по площади части. Примеры можно привести и для треугольника, и для выпуклого четырёхугольника.

Пожалуйста, приведите.

Я приведу в форме задачи. Так мы разделим усилия.
Дан треугольник с координатами вершин $(0, 0) - (4, 0) - (2, 6)$.
Чему равна его площадь?
Каковы координаты его центра масс?
Чему равны площади частей, которые получаются при разрезании треугольника горизонтальной прямой проходящей через центр масс?

[vorvalm]

Да, но разница незначительная.

[slavav]

vorvalm в сообщении #1460695 писал(а):

Да, но разница незначительная.

Эта тема о задаче типа "циркулем и линейкой". Такие задачи не решаются примерно. Сама постановка требует решить задачу точно.

Если мы будем решать задачи примерно, то окажется что любая геометрическая задача решается примерно с любой наперёд заданной точностью: трисекция угла, построение любого правильного многоугольника. Вообще любое вычисление с любой точностью можно выполнить циркулем и линейкой - логарифмы, экспоненты, любые функции, ряды и пределы. Такие широкие возможности делают решение задач не интересным. Интересно решить задачу точно.

"Циркуль и линейка" одна из первых проблем, для которых были получены точные отрицательные результаты - невозможно точно построить правильный семиугольник, например. Отсюда возникло целое направление связанное с основаниями математики - учёные осознали что не все задачи разрешимы и прежде чем бросаться строить прямые и окружности надо убедится что получить результат возможно в принципе.

[vorvalm]

Получается, что плоские фигуры, не обладающие центральной симметрией,
не имеют единого центра равенства площадей.