Приведение квадратичных форм к каноническому виду.

[MoonSers]

Уважаемые форумчане! Помогите пожалуйста разобраться.
Есть задание привести к каноническому ( нормальному ) виду
$f = x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4$ ( № 1178 Задачника Проскурякова )
Решение производится методом Лагранжа или Якоби. Как я читал в лекциях и книгах, подобные преобразования возможны только если коэффициенты при квадратах не нулевые ( то есть $a_{ii}$ не равны нулю одновременно) в случае метода Лагранжа и коэффициент при $x_1^2$ не нулевой для метода Якоби. А как быть в данном случае? Пытался гуглить и смотрел определения теорем, но, как видите, успеха не добился. Я бы сделал вывод, что подобное невозможно и данная форма является линейной, а не квадратичной и просто не приводится к каноническому виду, но в ответах для задачника Проскурякова для этого номера значится формула $y_1^2 - y_2^2 - y_3^2 - y_4^2$. Это наталкивает на мысль, что где то я неправ. Как это работает?

[arseniiv]

Ну она уж точно не линейная — никакой линейной форме, если например записать ту в общем виде и сравнить — она не равна. А для таких случаев есть приём: чтобы избавиться от произведения $xy$, надо сделать подстановку $x = x' + y', y = x' - y'$, тогда получим $xy = x'^2 - y'^2$. Странно, это должны рассказывать тоже.

[MoonSers]

Извините, ошибся. Ни о какой линейности речи быть не может . Да, это работает. Спасибо!

[Brukvalub]

MoonSers в сообщении #1460206 писал(а):

Как я читал в лекциях и книгах, подобные преобразования возможны только если коэффициенты при квадратах не нулевые ( то есть $a_{ii}$ не равны нулю одновременно) в случае метода Лагранжа и коэффициент при $x_1^2$ не нулевой для метода Якоби.

Укажите точные ссылки на источники (книги), где такое написано.

[bot]

Где написано, не смотрел. Но если написано, то относилось это к фрагменту выделения квадрата, а не ко всему методу.
MoonSers, если все $a_{ii}$ нулевые, надо создать хотя бы один не нуль, это можно сделать, используя с помощью тождество $4xy=(x+y)^2-(x-y)^2$. Хотели один не нуль - получили два.

[nnosipov]

Я на лекциях делаю оговорку, что все это замечательно проходит только в случае, когда характеристика поля скаляров не равна двум. А иначе --- извините, суммы квадратов не будет.