2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определение интеграла от дифф.формы по многообразию
Сообщение02.05.2020, 13:11 
Заслуженный участник


13/12/05
3989
Пусть на многообразии $M$ размерности $n$ задана форма $\omega$ степени $n$. Определение $\int\limits_M\omega$ обычно (например, в Зориче) происходит в два этапе. Сначала предполагают, что носитель $\omega$ целиком лежит в некоторой карте $\varphi_s\colon U_s\to V_s$, $U_s\subset\mathbb R^n$, $V_s\subset M$, и полагают $\int\limits_M\omega=\int\limits_{U_s}\varphi_s^*(\omega)$. Показывают, что значение не зависит от выбора карты. В случае произвольной формы, выбирают разбиение единицы $1=\sum\limits_ih_i$ такое, что для любого $i$ носитель произведения $h_i\omega_i$ покрывается одной картой, и полагают $\int\limits_M\omega=\sum\limits_i \int\limits_M h_i\omega$. Далее показывают, что это не зависит от выбора разбиения единицы. Тут есть некоторая возня, которая мне не нравится, помимо того, что надо еще доказать существование сколь угодно мелкого разбиения единицы.
А почему нельзя по рабоче-крестьянски разбить многообразие $M$ на куски $M_i$, каждый из кусков покрывается одной картой, и положить $\int\limits_M\omega=\sum\limits_i\int\limits_{M_i}\omega$ и в карте, $\varphi\colon U_s\to V_s$, покрывающей $M_i$ положить
$$
\int\limits_{M_i}\omega=\int\limits_{\varphi_s^{-1}(M_i)}\varphi_s^*(\omega)
$$

Какие тут подводные камни будут? Независимость от разбиения вроде легко доказывается, как обычно от двух разбиений $\{M_i\}$, $\{\widetilde M_j\}$ переходим к разбиению $\{M_i\cap\widetilde M_j\}_{i,j}$ (на самом деле с разбиением единицы мы делаем то же самое, от разбиений $\{h_i\}$, $\{\widetilde h_j\}$ переходим к разбиению $\{h_i\cdot \widetilde h_j\}_{i,j}$, тут экономии нет) . Зато обойдемся без разбиения единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение интеграла от дифф.формы по многообразию
Сообщение02.05.2020, 13:53 
Заслуженный участник


14/10/14
855
1) При обычном определении происходит примерно то же, то есть представляется $M=\cup M_\alpha$, где $M_\alpha$ -- носитель функции номер $\alpha$, участвующей в разбиении единицы. Но эти куски могут пересекаться (разбиение единицы как раз и учитывает пересечения). Вы хотите, чтобы не пересекались; значит, потребуются дополнительные усилия.

2) Какими могут быть куски? При обычном определении работают с открытыми множествами в $\mathbb R^n$. В вашем подходе все куски открытыми быть не могут. Неоткрытые подмножества $\mathbb R^n$ бывают всякие нехорошие (например, неизмеримые), и интегрировать по ним может быть неприятно.

А пересечения таких будут такие?

Итого я думаю, что можно, но будет в несколько раз сложнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение интеграла от дифф.формы по многообразию
Сообщение02.05.2020, 14:05 
Заслуженный участник


13/12/05
3989
Куски $M_i$ (точнее их образы в карте) измеримые по Жордану. Куски могут пересекаться, но только по множеству нулевой меры. В общем, такое же разбиение, какое используется при определении кратного интеграла Римана. Можно брать измеримыми по Лебегу, если мера и интеграл Лебега известны. С этой стороны сложностей не предвижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение интеграла от дифф.формы по многообразию
Сообщение02.05.2020, 14:27 
Заслуженный участник


14/10/14
855
Padawan в сообщении #1459568 писал(а):
Куски $M_i$ (точнее их образы в карте) измеримые по Жордану. Куски могут пересекаться, но только по множеству нулевой меры.
Ну попробуйте аккуратно доказать, что такое существует, если хотите. Может быть, вы посрамите мою интуицию. (UPD: интуиция говорит не что такого не бывает, а что доказывать это долго.)

Медитативный пример: $M=(0,1)\times(-1,1)\quad\setminus\quad C\times[0,1)$, где $C\subset[0,1]$ -- канторово множество меры $\frac12$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение интеграла от дифф.формы по многообразию
Сообщение02.05.2020, 14:31 
Заслуженный участник


13/12/05
3989
Ну так тут и конечного разбиения единицы не будет, только локально конечное. Я тоже могу локально конечное разбиение на куски брать, потом сумму ряда из интегралов, он должен абсолютно сходится.

Пусть многообразие будет компактно. Покроем конечным числом карт. Ок, подумаю.

-- Сб май 02, 2020 16:43:28 --

Ну триангуляция же существует. Вот это и будет разбиение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение интеграла от дифф.формы по многообразию
Сообщение02.05.2020, 14:51 
Заслуженный участник


18/01/15
2237
Padawan в сообщении #1459574 писал(а):
Ну триангуляция же существует. Вот это и будет разбиение.
А вот и фиг вам ! Вовсе нет. Любое двумерное компактное многообразие триангулируемо, да. С трехмерными сложнее. А пятимерные точно есть нетриангулируемые. (Компактные или нет ---точно не скажу, видел краем уха.) Автор этого результата чуть не стал филдсовским лауреатом на последнем конгрессе. Кажется так, подробности не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение интеграла от дифф.формы по многообразию
Сообщение02.05.2020, 14:57 
Заслуженный участник


13/12/05
3989
vpb в сообщении #1459577 писал(а):
А пятимерные точно есть нетриангулируемые

Я в шоке. Не верю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение интеграла от дифф.формы по многообразию
Сообщение02.05.2020, 15:06 
Заслуженный участник


18/01/15
2237
Padawan в сообщении #1459579 писал(а):
Не верю.
Ваша фамилия --- Алексеев (Станиславский) ? :D

Ну, сейчас попробую в тырнете подробности поискать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение интеграла от дифф.формы по многообразию
Сообщение02.05.2020, 15:09 
Заслуженный участник


14/10/14
855
vpb, вы про топологические, а мы про гладкие. Гладкие все триангулируемы (1940-е). Но это сложнее, чем разбиение единицы.

-- 02.05.2020, 16:12 --

Ну и пересечение триангуляций -- ...

Но, наверно, да, для компактных так можно доделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение интеграла от дифф.формы по многообразию
Сообщение02.05.2020, 15:13 
Заслуженный участник


18/01/15
2237
А... Вот и ответ, зачем разбиение единицы. (А мне работы меньше.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение интеграла от дифф.формы по многообразию
Сообщение02.05.2020, 18:06 
Аватара пользователя


31/08/17
2115
а что Лоран Шварц об этом думает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение интеграла от дифф.формы по многообразию
Сообщение02.05.2020, 18:35 
Заслуженный участник


14/10/14
855
Вроде бы ничего (если вы имеете в виду "Анализ").

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение интеграла от дифф.формы по многообразию
Сообщение02.05.2020, 18:36 
Заслуженный участник


13/12/05
3989
Интересно у него. Он берет карту $\varphi_s\colon U_s\to V_s$, говорит, что форме $\omega$ соответствует мера в $U_s\subset\mathbb R^n$. Потом определяет меру на многообразии $M$ которая на каждом открытом $V_s$ (являющимся областью действия карты) сопоставляют образ той меры. При этом ссылается на теорему о склеивании мер (она из первого тома). Мне нравится такой подход.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение интеграла от дифф.формы по многообразию
Сообщение02.05.2020, 18:38 
Заслуженный участник


14/10/14
855
А мера клеится из кусков тем же самым разбиением единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение интеграла от дифф.формы по многообразию
Сообщение02.05.2020, 18:42 
Заслуженный участник


13/12/05
3989
Ага, точно. Посмотрел док-во этого принципа склейки мер.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group