Определение интеграла от дифф.формы по многообразию

[Padawan]

Пусть на многообразии $M$ размерности $n$ задана форма $\omega$ степени $n$. Определение $\int\limits_M\omega$ обычно (например, в Зориче) происходит в два этапе. Сначала предполагают, что носитель $\omega$ целиком лежит в некоторой карте $\varphi_s\colon U_s\to V_s$, $U_s\subset\mathbb R^n$, $V_s\subset M$, и полагают $\int\limits_M\omega=\int\limits_{U_s}\varphi_s^*(\omega)$. Показывают, что значение не зависит от выбора карты. В случае произвольной формы, выбирают разбиение единицы $1=\sum\limits_ih_i$ такое, что для любого $i$ носитель произведения $h_i\omega_i$ покрывается одной картой, и полагают $\int\limits_M\omega=\sum\limits_i \int\limits_M h_i\omega$. Далее показывают, что это не зависит от выбора разбиения единицы. Тут есть некоторая возня, которая мне не нравится, помимо того, что надо еще доказать существование сколь угодно мелкого разбиения единицы.
А почему нельзя по рабоче-крестьянски разбить многообразие $M$ на куски $M_i$, каждый из кусков покрывается одной картой, и положить $\int\limits_M\omega=\sum\limits_i\int\limits_{M_i}\omega$ и в карте, $\varphi\colon U_s\to V_s$, покрывающей $M_i$ положить

$$ \int\limits_{M_i}\omega=\int\limits_{\varphi_s^{-1}(M_i)}\varphi_s^*(\omega) $$

Какие тут подводные камни будут? Независимость от разбиения вроде легко доказывается, как обычно от двух разбиений $\{M_i\}$, $\{\widetilde M_j\}$ переходим к разбиению $\{M_i\cap\widetilde M_j\}_{i,j}$ (на самом деле с разбиением единицы мы делаем то же самое, от разбиений $\{h_i\}$, $\{\widetilde h_j\}$ переходим к разбиению $\{h_i\cdot \widetilde h_j\}_{i,j}$, тут экономии нет) . Зато обойдемся без разбиения единицы.

[Slav-27]

1) При обычном определении происходит примерно то же, то есть представляется $M=\cup M_\alpha$, где $M_\alpha$ -- носитель функции номер $\alpha$, участвующей в разбиении единицы. Но эти куски могут пересекаться (разбиение единицы как раз и учитывает пересечения). Вы хотите, чтобы не пересекались; значит, потребуются дополнительные усилия.

2) Какими могут быть куски? При обычном определении работают с открытыми множествами в $\mathbb R^n$. В вашем подходе все куски открытыми быть не могут. Неоткрытые подмножества $\mathbb R^n$ бывают всякие нехорошие (например, неизмеримые), и интегрировать по ним может быть неприятно.

А пересечения таких будут такие?

Итого я думаю, что можно, но будет в несколько раз сложнее.

[Padawan]

Куски $M_i$ (точнее их образы в карте) измеримые по Жордану. Куски могут пересекаться, но только по множеству нулевой меры. В общем, такое же разбиение, какое используется при определении кратного интеграла Римана. Можно брать измеримыми по Лебегу, если мера и интеграл Лебега известны. С этой стороны сложностей не предвижу.

[Slav-27]

Padawan в сообщении #1459568 писал(а):

Куски $M_i$ (точнее их образы в карте) измеримые по Жордану. Куски могут пересекаться, но только по множеству нулевой меры.

Ну попробуйте аккуратно доказать, что такое существует, если хотите. Может быть, вы посрамите мою интуицию. (UPD: интуиция говорит не что такого не бывает, а что доказывать это долго.)

Медитативный пример: $M=(0,1)\times(-1,1)\quad\setminus\quad C\times[0,1)$, где $C\subset[0,1]$ -- канторово множество меры $\frac12$.

[Padawan]

Ну так тут и конечного разбиения единицы не будет, только локально конечное. Я тоже могу локально конечное разбиение на куски брать, потом сумму ряда из интегралов, он должен абсолютно сходится.

Пусть многообразие будет компактно. Покроем конечным числом карт. Ок, подумаю.

-- Сб май 02, 2020 16:43:28 --

Ну триангуляция же существует. Вот это и будет разбиение.

[vpb]

Padawan в сообщении #1459574 писал(а):

Ну триангуляция же существует. Вот это и будет разбиение.

А вот и фиг вам ! Вовсе нет. Любое двумерное компактное многообразие триангулируемо, да. С трехмерными сложнее. А пятимерные точно есть нетриангулируемые. (Компактные или нет ---точно не скажу, видел краем уха.) Автор этого результата чуть не стал филдсовским лауреатом на последнем конгрессе. Кажется так, подробности не знаю.

[Padawan]

vpb в сообщении #1459577 писал(а):

А пятимерные точно есть нетриангулируемые

Я в шоке. Не верю.

[vpb]

Padawan в сообщении #1459579 писал(а):

Не верю.

Ваша фамилия --- Алексеев (Станиславский) ?

Ну, сейчас попробую в тырнете подробности поискать.

[Slav-27]

vpb, вы про топологические, а мы про гладкие. Гладкие все триангулируемы (1940-е). Но это сложнее, чем разбиение единицы.

-- 02.05.2020, 16:12 --

Ну и пересечение триангуляций -- ...

Но, наверно, да, для компактных так можно доделать.

[vpb]

А... Вот и ответ, зачем разбиение единицы. (А мне работы меньше.)

[pogulyat_vyshel]

а что Лоран Шварц об этом думает?

[Slav-27]

Вроде бы ничего (если вы имеете в виду "Анализ").

[Padawan]

Интересно у него. Он берет карту $\varphi_s\colon U_s\to V_s$, говорит, что форме $\omega$ соответствует мера в $U_s\subset\mathbb R^n$. Потом определяет меру на многообразии $M$ которая на каждом открытом $V_s$ (являющимся областью действия карты) сопоставляют образ той меры. При этом ссылается на теорему о склеивании мер (она из первого тома). Мне нравится такой подход.

[Slav-27]

А мера клеится из кусков тем же самым разбиением единицы.

[Padawan]

Ага, точно. Посмотрел док-во этого принципа склейки мер.