Об поверхностях уровня и густоте векторных линий

[misha.physics]

Здравствуйте. Возникло два маленьких момента по теории поля, первый - по скалярному, второй - по векторному.

1) Вопрос по терминологии. Рассмотрим скалярное поле $\varphi(\mathbf{r})$, заданное в трёхмерном пространстве. Говорится, что точки $\mathbf{r}$ для которых поле принимает некоторое постоянное значение $\varphi(\mathbf{r})=c$, вообще говоря, заполняют некоторую поверхность (или несколько раздельных поверхностей), которые называются поверхностями уровня. Но ведь, вообще говоря, эти точки могут заполнять некоторый объем (или несколько раздельных объемов) пространства. Значит слово "поверхности" в термине "поверхности уровня" чисто условное? То же самое можно привести по отношению к линиям уровня скалярного поля, заданного на плоскости. Там ведь тоже точки могут заполнять площадь (плоскую область), вообще говоря. Кстати, если в трёхмерном пространстве точки заполняют линию, то как её назвать? Линией уровня или поверхностью уровня?

2) Говорится, что можно характеризовать величину вектора векторного поля густотой проводимых линий. Для этого через каждую точку проводим маленькую ортогональную к линии площадку, считаем количество пересечений её с векторными линиями и делим на площадь площадки. Я не вижу, как эта характеристика может характеризовать величину вектора векторного поля. Или это справедливо только для определенного "типа" векторных полей? Например, зная закон Кулона и рассматривая электрическое поле вокруг неподвижного заряда, я понимаю что густота линий будет ближе к заряду и там действительно напряженность поля больше. Но будет ли там пропорциональность или другая зависимость (одинаковая для каждой точки) этой напряженности и количества пересекаемых линий единичной площадкой? А вот для придуманного мною поля $\mathbf{a}(\mathbf{r})=\mathbf{r}/r$ во всех точках (кроме начала координат) векторы будут единичными. Густота векторных линий здесь тоже увеличивается к началу координат, но это не може характеризовать величину векторов поля, поскольку они все имеют единичную длину. Как тут быть?

-- 02 май 2020, 12:15 --

UPD: Рассмотрим ещё поля $\mathbf{b}(\mathbf{r})=\mathbf{r}/r^2$ и $\mathbf{c}(\mathbf{r})=\mathbf{r}/r^3$. В данной точке густота векторных линий обеих полей одинакова, но величины векторов в данной точки разные. Значит зависимости между величиной вектора и количеством пересекаемых линий будут разные. А можно ещё написать поле $$\mathbf{d}(\mathbf{r})=\mathbf{r}$. Здесь зависимость будет ещё другой. Интересно, будут ли эти зависимости зависеть от точки?

-- 02 май 2020, 12:18 --

UPD2: Хотя, если для поля $\mathbf{a}(\mathbf{r})=\mathbf{r}/r$ такая зависимость имеет место быть, значит она должна зависеть от точки.

[Padawan]

misha.physics в сообщении #1459550 писал(а):

Говорится, что можно характеризовать величину вектора векторного поля густотой проводимых линий

Ерунда это

[Pphantom]

misha.physics в сообщении #1459550 писал(а):

Но ведь, вообще говоря, эти точки могут заполнять некоторый объем (или несколько раздельных объемов) пространства. Значит слово "поверхности" в термине "поверхности уровня" чисто условное?

Да. Правда, ситуация, когда поле - константа в некоторой окрестности точки (а иначе заполнение объема не получится) сравнительно малоинтересна.

misha.physics в сообщении #1459550 писал(а):

Кстати, если в трёхмерном пространстве точки заполняют линию, то как её назвать?

А такое реально для "естественных" скалярных полей?

misha.physics в сообщении #1459550 писал(а):

Говорится, что можно характеризовать величину вектора векторного поля густотой проводимых линий.

При этом изображаются "линии тока", а не просто векторное поле в тех или иных точках. Тогда схема работоспособна при условии $\nabla \cdot \vec \psi = 0$.

[misha.physics]

Pphantom, спасибо, понятно.
А, вспомнил, мы когда-то записывали количество линий для закона Кулона (я сначала забыл об этом).

[arseniiv]

Кроме того что уже сказали:

misha.physics в сообщении #1459550 писал(а):

Но ведь, вообще говоря, эти точки могут заполнять некоторый объем (или несколько раздельных объемов) пространства. Значит слово "поверхности" в термине "поверхности уровня" чисто условное?

В общем случае говорят «множество уровня функции», но для полей обычна ситуация, когда множества уровня имеют именно размерность на 1 меньше размерности пространства, вот и говорят «линии», «поверхности» и в общем случае «гиперповерхности» («гипер» и означает размерность на 1 меньше, чем у пространства).

Или ещё наверно изредка могут говорить «поверхность уровня», как раз утверждая этим, что рассматриваемое множество уровня должно быть именно поверхностью и не каким-то более страшным.

Густота линий лучше определена не для векторного поля, а для поля $(n-1)$-форм, которые как раз уместно изображать ориентированными линиями тока, в каждой точке имеющими какую-то «плотность». И интегрирование по ориентированной площадке тоже для него, и вообще по ориентированной гиперповерхности. А векторы с таким полем взаимозаменяемы лишь если мы зададим ориентацию на всём пространстве. Тогда мы можем сообразить единичный объёмчик-параллелепипед, натянутый на площадку и интересующий нас вектор, положительно ориентированные в таком порядке, и площадка будет как раз такова, что через неё будет проходить единичный поток линий тока.

[misha.physics]

arseniiv, спасибо. Надеюсь, вторую часть я со временем пойму лучше.