Возможность задания нормы в линейном пространстве

[fromnn]

В всяком ли линейном пространстве можно задать норму? Какие существуют критерии на этот счет?
Например: линейное пространство произвольных числовых последовательностей. Можно ли задать норму? Может быть можно доказать, что норму задать нельзя?

[pogulyat_vyshel]

во всяком линейном пространстве можно задать норму
используйте базис Гамеля

[Otta]

pogulyat_vyshel
Разве? А как же $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$?

[pogulyat_vyshel]

а я и не говорил, что норма обязана быть согласована с какой-то еще топологией и в стартовом посте об этом не спрашивалось

[fromnn]

Спасибо за ответ. С базисом Гамеля, можно поподробнее как его можно использовать? Или где почитать. И какой базис Гамеля у множества числовых последовательностей?
Что такое $D(R^n)$?

[pogulyat_vyshel]

Пусть $\{e_{\alpha}\}$ -- базис Гамеля в линейном пространстве $X$ над $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$
тогда любой элемент $x\in X$ представляется однозначно в виде $x=\sum_{k=1}^nx_ke_{\alpha_k}$
положим $\|x\|=\sum_{k=1}^n|x_k|$

-- 01.05.2020, 12:25 --

fromnn в сообщении #1459343 писал(а):

И какой базис Гамеля у множества числовых последовательностей?

базис Гамеля редко когда удается явно выписать

[fromnn]

Получается, если x и y выражаются через разные элементы базиса $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$?

-- 01.05.2020, 11:39 --

Спасибо, очень помогли. Может, посоветуете, где об этом почитать поподробнее, но чтобы доступно.