2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: допустимо ли такое преобразование
Сообщение28.04.2020, 20:12 


21/05/16
4292
Аделаида
SPgum в сообщении #1458685 писал(а):
Не подскажите в каком разделе можно поискать?!

Подскажу: в гугле.

 Профиль  
                  
 
 Re: допустимо ли такое преобразование
Сообщение28.04.2020, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12519

(Оффтоп)

SPgum в сообщении #1458685 писал(а):
не нашол! :roll: Не подскажите
глоза краваточет сатреть

 Профиль  
                  
 
 Re: допустимо ли такое преобразование
Сообщение29.04.2020, 09:12 


27/03/16
53
Большое спасибо за разъяснения! В разделе "Сравнение бесконечно малых величин" я нашел ответ!
Тогда, если я правильно понял, нельзя использовать определение для эквивалентности бесконечно малых величин одного порядка в отношении $\frac{dx}{dx}$, поскольку их отношение не имеет предела $\lim\limits_{x\to 0} \frac{dx}{dx}=\frac{0}{0}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: допустимо ли такое преобразование
Сообщение29.04.2020, 11:02 


21/05/16
4292
Аделаида
$\dfrac{dx}{dx}=1$ по определению производной.

 Профиль  
                  
 
 Re: допустимо ли такое преобразование
Сообщение29.04.2020, 14:09 


27/03/16
53
Спасибо за ответ, но прошу прощения, что то я запутался: Ведь по определению это отношение приращения функции к приращению переменной, а при эквивалентности речь шла о бесконечно малых величинах: А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович "Краткий курс математического анализа". Т.е. я сделал не верный вывод относительно $\lim\limits_{x\to 0} \frac{dx}{dx}=\frac{0}{0}$

 Профиль  
                  
 
 Re: допустимо ли такое преобразование
Сообщение29.04.2020, 14:34 


21/05/16
4292
Аделаида
Бесконечно малые приращения обозначаются $\Delta x$. $\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta x}{\Delta x}=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: допустимо ли такое преобразование
Сообщение29.04.2020, 14:46 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
SPgum в сообщении #1458835 писал(а):
Т.е. я сделал не верный вывод относительно $\lim\limits_{x\to 0} \frac{dx}{dx}=\frac{0}{0}$
Если у вас $dx$ это какие-то отдельные штуки (например дифференциалы), то они не зависят никак от $x$ и предел по $x$ от них брать смысла нет, а ответ будет равен 1. Если это цельное обозначение производной, то опять же предел брать нет смысла, потому что она мало того что непрерывна в нуле (и можно было бы не брать предел, а подставлять сразу ноль), она вообще тождественно равна 1. Наконец вы ещё могли иметь в виду $\lim\limits_{x\to 0} \frac xx$, но и он разумеется будет равен единице. Или вы имели в виду ещё что-то, но не понятно что.

Если это как-то должно быть связано с бесконечно малыми величинами (сразу оговорим базу $x\to0$), то $dx$ это не бесконечно малая величина (это функция двух аргументов), а вот $x$ или $\sin x$ — да.

 Профиль  
                  
 
 Re: допустимо ли такое преобразование
Сообщение29.04.2020, 18:26 


27/03/16
53
Большое спасибо за объяснение (когда учился в вузе, было как то не актуально, а вот теперь понадобилось). Если Вас не затруднит, не могли бы Вы пояснить физический смысл величины $ {dx}$ в записи для интеграла
$$ \int_{0}^{x}{f(x)}{dx}$$
В учебнике сказано, что $ {f(x)}{dx}$ - это подынтегральное выражение,
$ {x}$ - переменная интегрирования,
Но, что тогда представляет собой в этом выражении запись $ {dx}$, каков его физический смысл и можно ли воспринимать $ {f(x)}{dx}$ как произведение $ {f(x)}$$ и $ {dx}$$?
Почему нельзя сокращать на $ {dx}$ в числителе и знаменателе произведения $$\frac{dw(x)}{dx} \int_{0}^{x}{dx}\neq\int_{0}^{x}{dw(x)}={w(x)}$$
Буду очень признателен !

 Профиль  
                  
 
 Re: допустимо ли такое преобразование
Сообщение29.04.2020, 18:36 


21/05/16
4292
Аделаида
SPgum в сообщении #1458915 писал(а):
физический смысл величины $ {dx}$

Примерно то же самое, что и для производной: значение в точке умножаем на приращение аргумента.

 Профиль  
                  
 
 Re: допустимо ли такое преобразование
Сообщение29.04.2020, 18:41 


27/03/16
53
kotenok gav в сообщении #1458917 писал(а):
SPgum в сообщении #1458915 писал(а):
физический смысл величины $ {dx}$

Примерно то же самое, что и для производной: значение в точке умножаем на приращение аргумента.

Спасибо за ответ, но честно говоря, вопрос не сильно прояснился после фразы " примерно" и в учебниках не нашел разъяснения :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: допустимо ли такое преобразование
Сообщение29.04.2020, 19:17 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
SPgum в сообщении #1458915 писал(а):
Но, что тогда представляет собой в этом выражении запись $ {dx}$, каков его физический смысл и можно ли воспринимать $ {f(x)}{dx}$ как произведение $ {f(x)}[math]$$ и $ {dx}$$?
С одной стороны это $dx$ можно воспринимать просто как указание переменной, по которой мы интегрируем. С другой стороны всё подынтегральное выражение здесь можно понимать как 1-форму, но интегрирование 1-форм придётся определять и изучать отдельно. Хотя оно и довольно красиво, но прям с нуля я не возьмусь объяснять так, чтобы гарантированно не запутать.

Ну а «физически» $dx$ это действительно такая длина пренебрежимо малого отрезочка, $f(x)\,dx$ — площадь тоненькой криволинейной трапецийки между графиком функции и $x=0$, и интеграл это как бы сумма всех таких площадей для разбиения области интегрирования на такие пренебрежимо малые отрезки.

SPgum в сообщении #1458915 писал(а):
Почему нельзя сокращать на $ {dx}$ в числителе и знаменателе произведения $$\frac{dw(x)}{dx} \int_{0}^{x}{dx}\neq\int_{0}^{x}{dw(x)}={w(x)}$$
Потому что грубо говоря одно под интегралом, а другое не под. Вот если бы было $\int_{\ldots} f'(x)\,dx$, мы бы получили теорему Ньютона—Лейбница, в которой как раз «сокращается».

-- Ср апр 29, 2020 21:18:55 --

То есть на таком рукомахательном уровне ошибка выше в заносе $dw(x)$ в интеграл. Вне интеграла это выражение от одного какого-то значения икса, а под интегралом мы перебираем все иксы, совсем другой смысл и потому туда-сюда таскать выражения, зависящие от переменной интегрирования, нельзя. (А если попытаться сократить без заноса $dw$, получится очевидно бессмысленная запись.)

 Профиль  
                  
 
 Re: допустимо ли такое преобразование
Сообщение29.04.2020, 19:30 


27/03/16
53
Большое спасибо!!! По крайне мере для меня, что то стало более обоснованным! Еще раз Большое спасибо!

-- 29.04.2020, 19:33 --

arseniiv в сообщении #1458934 писал(а):
Вне интеграла это выражение от одного какого-то значения икса, а под интегралом мы перебираем все иксы

Покрайне мере в этой части,для меня картина прояснилась!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: допустимо ли такое преобразование
Сообщение29.04.2020, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
SPgum в сообщении #1458835 писал(а):
по определению это отношение приращения функции к приращению переменной
Неверно. Производная — это не "отношение приращения функции к приращению переменной".

SPgum в сообщении #1458775 писал(а):
их отношение не имеет предела $\lim\limits_{x\to 0} \frac{dx}{dx}=\frac{0}{0}$ ?
Поскольку $\frac{dx}{dx}=1$ независимо ни от какого $x$ (и вообще $dx=\Delta x$ есть приращение независимой переменной $x$, которое никаким боком от $x$ не зависит), то указанный предел есть просто $\lim\limits_{x\to 0}1=1$.

kotenok gav в сообщении #1458842 писал(а):
Бесконечно малые приращения обозначаются $\Delta x$.
С какой стати приращения стали бесконечно малыми? Да и дифференциалы нисколько не бесконечно малые.

SPgum в сообщении #1458915 писал(а):
$$ \int_{0}^{x}{f(x)}{dx}$$
Очень плохое обозначение. Крайне желательно, чтобы обозначение переменной интегрирования отличалось от обозначения предела интегрирования и вообще нигде, кроме подынтегрального выражения не встречалось. Например, можно было бы написать $$\int_0^xf(\tau)d\tau;$$ тогда у Вас не было бы искушения сокращать $d\tau$ внутри интеграла с $dx$ снаружи.

SPgum в сообщении #1458915 писал(а):
Но, что тогда представляет собой в этом выражении запись $ {dx}$
Здесь $dx$ — часть обозначения интеграла. Воспринимайте значки $\int$ и $dx$ в записи интеграла как своего рода скобки, между которыми стоит подынтегральная функция; отрывать одну скобку от другой и сокращать её с чем-нибудь нельзя. Надеюсь, Вы не сокращаете правые скобки в числителе и знаменателе дроби?

 Профиль  
                  
 
 Re: допустимо ли такое преобразование
Сообщение29.04.2020, 23:37 


27/03/16
53
Someone в сообщении #1459010 писал(а):
Например, можно было бы написать $$\int_0^xf(\tau)d\tau;$$ тогда у Вас не было бы искушения сокращать $d\tau$ внутри интеграла с $dx$ снаружи.
Но, что тогда представляет собой в этом выражении запись $ {dx}$ Здесь $dx$ — часть обозначения интеграла. Воспринимайте значки $\int$ и $dx$ в записи интеграла как своего рода скобки, между которыми стоит подынтегральная функция; отрывать одну скобку от другой и сокращать её с чем-нибудь нельзя.

Большое Спасибо за разъяснение!!! Если воспринимать как скобки, тогда бесспорно! Очень доходчиво!!! :roll:

Еще раз, всем Большое Спасибо за помощь!!! :roll:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group