Оператор в пространстве поливекторов

[rancid_rot]

Есть задание: найти жорданову форму матрицы оператора $\Lambda^{2}(\mathcal{A})$, если матрица $\mathcal{A}$ имеет жорданову форму [какую-то там]. Понятно, что решать надо основываясь на утверждении

$$A_{q}(e_{j_{1}} \wedge ... \wedge e_{j_{q}}) = \sum\limits_{1 \leqslant i_{1} <...<i_{q} \leqslant n}^{} a^{i_{1}...i{q}}_{j_{1}...j_{q}} e_{i_{1}} \wedge...\wedge e_{i_{q}}.$$

В ответах новая матрица не просто диагональна, а включает полноценные жордановы клетки. Откуда берутся лишние единицы?

Кстати, методом научного тыка я заметил, что их число равно числу единиц, появляющихся на позиции $a_{1 2}$ в вычисляемых минорах.

[arseniiv]

Это ведь вроде $\wedge^2 A^2$, определяемый инвариантно как $(\wedge^2 A^2)(u\wedge v) = Au\wedge Av$?

Пусть $A e_i = c_i e_i$ для базиса $e_i$, тогда $(\wedge^2 A^2)(e_i\wedge e_j) = c_i c_j\, e_i\wedge e_j$, и так как всевозможные $e_i\wedge e_j$ составляют базис $\wedge^2 V$, то в нём матрица $\wedge^2 A^2$ будет тоже диагональна, хм.

Если это $\wedge^2 A^1$:

$$(\wedge^2 A^1)(u\wedge v) = Au\wedge v + u\wedge Av$$

— что вводится в рассмотрение куда реже — то тогда $(\wedge^2 A^1)(e_i\wedge e_j) = (c_i + c_j)\, e_i\wedge e_j$, опять диагонально выходит. Так что или у вас ошибка, или расскажите, в каком базисе матрица какого оператора рассматривается (я лично не понял, что такое $a^{i_1\cdots i_q}_{j_1\cdots j_q}$, предположив, что это $a^{i_1}_{j_1}\cdots a^{i_q}_{j_q}$, где $a^i_j$ — матрица $A$). Или и сам $A$ не диагонализуем, как я решил (оказывается, явно это нигде не написано).

[rancid_rot]

arseniiv в сообщении #1458821 писал(а):

Так что или у вас ошибка, или расскажите, в каком базисе матрица какого оператора рассматривается (я лично не понял, что такое $a^{i_1\cdots i_q}_{j_1\cdots j_q}$, предположив, что это $a^{i_1}_{j_1}\cdots a^{i_q}_{j_q}$, где $a^i_j$ — матрица $A$). Или и сам $A$ не диагонализуем, как я решил (оказывается, явно это нигде не написано).

Вот задание целиком:

Ответ:

Теорема:


Все числа сходятся, если посчитать миноры (по крайней мере в пунктах а) и б)), но откуда берутся жордановы клетки - непонятно.

[arseniiv]

А, ну так и исходные матрицы же не диагональны. Если для некоторых элементов базиса $u, v, w$ имеем $Au = cu + c'v$, $Av = c''v$ (два вектора, дающие в матрице недиагональный элемент), $Aw = dw$, то для $(\wedge^2 A^2)(u\wedge w) = cd\, u\wedge w + c'd\, v\wedge w$ — вот и тут будет недиагональный.

[rancid_rot]

arseniiv в сообщении #1458838 писал(а):

А, ну так и исходные матрицы же не диагональны. Если для некоторых элементов базиса $u, v, w$ имеем $Au = cu + c'v$, $Av = c''v$ (два вектора, дающие в матрице недиагональный элемент), $Aw = dw$, то для $(\wedge^2 A^2)(u\wedge w) = cd\, u\wedge w + c'd\, v\wedge w$ — вот и тут будет недиагональный.

Всё равно не особо понятно. То есть эти единицы в матрице висеть будут, а в результате работы оператора никак не проявятся? Просто в пункте б), например, как решение палками ни подпирай, два минора равных $1$ не наберётся. Или в теореме и задании разные операторы $\Lambda^{2}(\mathcal{A}^2)$ и $\Lambda^{2}(\mathcal{A})$ имеются в виду? Тогда я вообще не представляю, как это решать.

[Xaositect]

rancid_rot в сообщении #1458850 писал(а):

Просто в пункте б), например, как решение палками ни подпирай, два минора равных $1$ не наберётся.

А там не все так просто, там не только единицы, а много чего еще будет выше диагонали. И не только на 1 выше диагонали, но и еще выше. От Вас требуется честно выписать матрицу $\Lambda^2 A$, а потом уже найти ее жорданову форму.

[arseniiv]

rancid_rot в сообщении #1458850 писал(а):

То есть эти единицы в матрице висеть будут, а в результате работы оператора никак не проявятся?

Ну почему же, проявятся. Если $A$ не диагонален в базисе $e_i$, то $\wedge^2 A^2$ не диагонален в базисе $e_i\wedge e_j$. Наверно можно это усилить и до «не диагонализуем» — это уже более интересное свойство и геометрическое — но тут надо будет доказывать, что ни в каком другом базисе второй оператор тоже не диагонален.

Про единицы присоединяюсь к Xaositect — мало ли что там будет; даже мои формулы для одного недиагонального элемента выше не говорят о единицах, там возникает число $c' d$, где если $c'$ и принять единицей в исходной матрице, то $d$ ею быть совершенно не обязано. А что матрица в соответствующем базисе будет ЖНФ, когда матрица исходного оператора была в ЖНФ — совсем не очевидно и вообще не удивлюсь если неверно (но искать пример лень).

[rancid_rot]

Xaositect в сообщении #1458854 писал(а):

От Вас требуется честно выписать матрицу $\Lambda^2 A$

Попробовал выписать, получил дословное повторение доказательства

rancid_rot в сообщении #1458831 писал(а):

Теоремы.

Простите за мою дерзость, я понимаю, что у алгебраистов так не принято, но можно просто по пунктам перечислить, что делать надо?

[Slav-27]

rancid_rot в сообщении #1458875 писал(а):

можно просто по пунктам перечислить, что делать надо?

1. Выберите базис 2-й внешней степени (например, можно взять в качестве базисных векторы $e_1\wedge e_2, e_1\wedge e_3$... в каком-нибудь определённом порядке). (Сколько получилось векторов в базисе?)
2. Подействуйте оператором $\wedge^2\mathcal A$ на 1-й базисный вектор, разложите результат по базису, коэффициенты разложения запишите в 1-й столбец матрицы.
3. То же самое для 2-го базисного вектора и 2-го столбца, и так далее.
4. Получилась квадратная матрица; найдите её жорданову форму.

[rancid_rot]

Slav-27 в сообщении #1458880 писал(а):

Сколько получилось векторов в базисе?

Число сочетаний из $n$ по $2$ $=6$.
Большое спасибо

-- 29.04.2020, 17:29 --

Ответ сошёлся. Вот бы теперь разобраться, почему теорема не работает (или, скорее, где я ее не понимаю)...

[Slav-27]

rancid_rot в сообщении #1458886 писал(а):

Вот бы теперь разобраться, почему теорема не работает (или, скорее, где я ее не понимаю)...

Почему вы думаете, что она не работает?

Вы можете выписать все $2\times 2$ миноры вашей матрицы (их 36 штук) и убедиться, что они суть в точности элементы $6\times 6$ матрицы, которую вы получили на шаге 3. Как они там расположены -- зависит от упорядочения базисных векторов 2-й внешней степени (которое вы выбрали на шаге 1).

[rancid_rot]

Slav-27 в сообщении #1458913 писал(а):

Почему вы думаете, что она не работает?

Да, действительно, я не на ту матрицу смотрел. Мне же уже много раз сказали, что если базис $V$ - жорданов, то это еще не значит, что базис $V \wedge V$ будет таковым.
Ещё раз спасибо.

Кстати, я перепроверил (программку набросал). Теорема работает.