Вектор состояния квантового поля

[Утундрий]

physicsworks в сообщении #1458332 писал(а):

... когда математики (не матфизики, а чистые математики) пытаются разобраться в квантах или, еще хуже, в КТП. Ну, на долго их все равно не хватает... (и хорошо)

Шафаревич А. И. - Геометрические структуры квантовой механики - Вводная лекция
А как насчёт этого?

[Alex-Yu]

Утундрий в сообщении #1458340 писал(а):

А как насчёт этого?

А никак. Это еще не квантовая физика. Это очень-очень наивные предварительные соображения на тему крайне примитивного частного случая (одночастичного нерелятивистского) квантовой физики.

[physicsworks]

(Оффтоп)

Утундрий так это же матфизик, пускай живет себе И курс, насколько я понял, очень вводный (КТП, где начинается самое интересное, там вообще нет). Кстати, не поймите меня неправильно, математики, и даже чистые математики, сейчас очень нужны в КТП, ну, например, тот же грассманниан нам нужно понять не только в исключительных случаях, а и вообще, применительно к амплитуэдру. Только под четким руководством физиков пускай работают, чтобы они в порыве творчества не заехали куда не надо пока.

[vlad9486]

Спасибо всем, понял что меня интересовало, в общем случае, в обычном пространстве-времени, в картине Шредингера, состояние квантового поля принадлежит типу $(\mathbb{R}^4\to\mathbb{X})\to\mathbb{C}$, где $\mathbb{X}$ - тип нашего поля. Осталось одно неприятное упущение. Если считать значение поля, например спинор, амплитудой вероятности, тогда там сразу будет два комплексных числа, и их можно интерпретировать как вероятности обнаружения частицы со спином вверх и вниз, потому что сумма их модулей равна единице. Но так как на спинор - не амплитуда вероятности, то непонятно как посчитать вероятность "верх или низ". Наверное потому в картине Шредингера вообще сложно что-то посчитать.

Ну и одна интересность, полевая функция $\mathbb{R}^4\to\mathbb{C}^n$ изоморфна функции $\left\lbrace0,1,...,(n - 1)\right\rbrace\times\mathbb{R}^4\to\mathbb{C}$. То есть, на вход подается не только точка пространства-времени, но еще и значение некоторого дискретного множества, в котором лежат конкретные частицы. Можно представить себе множество $\left\lbrace g_1, g_2, g_3 \right\rbrace\times\left\lbrace e, \nu \right\rbrace\times\left\lbrace lepton, red, green, blue \right\rbrace$ в котором уже есть поколение, изоспин (электрон, или нейтрино) и цвет (лептон удобно считать цветом, чтобы разложилось на множители). Вот если такое множество умножить на множество точек пространства-времени, тогда обычное биспинорное поле сразу станет всеми фермионами стандартной модели. Типа, красный-верхний кварк у нас всегда находится в точке $(g_1, \nu, red)\times\mathbb{R}^4$. Потом можно пойти дальше и биспинорное поле заменить на действительное опять вытащив 3 бита информации в точку пространства времени. Только непонятно как $\mathrm{Sipn}(1, 3)\times U(1)\times SU(2)\times SU(3) / \mathbb{Z}_6$ будет действовать на дискретное множество...

Alex-Yu в сообщении #1458296 писал(а):

Все же не поле этим будет, а вектор состояния поля.

Да, именно состояние я и имел ввиду, что-то невнимательный.

Alex-Yu в сообщении #1458296 писал(а):

Поле же после квантования станет операторнозначной на векторах состояния функцией от $\mathbb{R}^4$.

Вы имеете ввиду картину Гейзенберга?

[Alex-Yu]

vlad9486 в сообщении #1458357 писал(а):

Вы имеете ввиду картину Гейзенберга?

Хоть Гайзенберга, хоть Шредингера, хоть еще какую. Всегда, только зависимость от времени разная.

-- Вт апр 28, 2020 00:49:32 --

vlad9486 в сообщении #1458357 писал(а):

Если считать значение поля, например спинор, амплитудой вероятности, тогда там сразу будет два комплексных числа, и их можно интерпретировать как вероятности обнаружения частицы

Ой.... Давайте поля с частицами не смешивать!

-- Вт апр 28, 2020 00:50:21 --

vlad9486 в сообщении #1458357 писал(а):

Если считать значение поля, например спинор, амплитудой вероятности

Ну вроде же договорились, что это НИКАК НЕ амплитуда вероятности!!!

-- Вт апр 28, 2020 00:51:29 --

vlad9486 в сообщении #1458357 писал(а):

потому что сумма их модулей равна единице.

Для поля не равна!!! Для квантового поля это вообще оператор (действующий в довольно сложном пространстве), числу равняться не может.

-- Вт апр 28, 2020 00:56:08 --

vlad9486 в сообщении #1458357 писал(а):

Вот если такое множество умножить на множество точек пространства-времени, тогда обычное биспинорное поле сразу станет всеми фермионами стандартной модели.

Естественно, если снабдить фермионное поле дополнительным дискретным индексом, то это можно отождествить с несколькими фермионными полями (сколько значений индекса, столько и полей). Это самоочевидная банальность, не требующая обсуждения и не представляющая интереса.


Что-то вы ищите какой-то сакральный смысл там, где его просто нет.

-- Вт апр 28, 2020 00:59:09 --

vlad9486 в сообщении #1458357 писал(а):

в картине Шредингера вообще сложно что-то посчитать.

До того, чтобы хоть что-то конкретное посчитать, здесь еще очень-очень далеко, причем безотносительно картина Шредингера или Гайзенберга.

-- Вт апр 28, 2020 01:05:36 --

vlad9486 в сообщении #1458357 писал(а):

Только непонятно как $\mathrm{Sipn}(1, 3)\times U(1)\times SU(2)\times SU(3) / \mathbb{Z}_6$ будет действовать на дискретное множество...

Это как раз банально, но толку от этого абсолютно никакого Вы вообще-то знаете, что такое квантовые наблюдаемые? Тем более в КТП. И как именно задаются физически осмысленные состояния в КТП. С этого начать бы надо... А те вопросы, которыми вы задаетесь, абсолютно неинтересны, бессодержательны, от ответов на них все равно никакого толку не может быть.

Начали бы вы с действительного скалярного поля. Было бы намного больше толку. Уже в этом случае очень-очень много содержательного. На годик (если не на намного большее время) вам вполне хватит скалярного действительного поля. А кварки-лептоны и пр. оставьте на потом, до этого дорасти сначала надо Особенно учитывая, что для этого сначала надо разобраться с квантованием неабелевых калибровочных теорий (отдельный довольно сложный вопрос, намного более сложный, чем квантование простого скалярного поля).

[vlad9486]

Alex-Yu
Та да, я надеялся еще больше смысла найти поигравшись с типом состояния квантового поля, но с матрешкой степеней особо ничего интересного сделать не выйдет кроме того что я уже сделал... (функции в теории декартово-замкнутых категорий называют тип-степень).

-- 27.04.2020, 20:20 --

physicsworks в сообщении #1458332 писал(а):

Это мне напоминает когда математики (не матфизики, а чистые математики) пытаются разобраться в квантах или, еще хуже, в КТП. Ну, на долго их все равно не хватает... (и хорошо)

В КТП пытаются лезть и чистые программисты, которые интересовались когда-то квантовой механикой, но на долго не хватило, как вот я

[Alex-Yu]

vlad9486 в сообщении #1458366 писал(а):

кроме того что я уже сделал

А вы вообще ничего не сделали. Забудьте вы про всякую бессмысленную "боевую раскраску дикаря" (для устрашения противника) вроде как их там... категорий Я вам выше дописал, что здесь надо делать. Или вообще ничего не делать, заняться чем попроще КТП -- наука серьезная, наивное манипулирование красивыми терминами здесь не поможет.

-- Вт апр 28, 2020 01:24:18 --

vlad9486 в сообщении #1458366 писал(а):

В КТП пытаются лезть и чистые программисты

Что интересно, я почувствовал, что вы программист, хотя и сомневался. Хотите лезть в КТП -- забудьте все, что знаете из программирования. Ибо не поможет. В начале не поможет, только потом-потом после нескольких лет напряженного труда польза от программирования может случится.

[arseniiv]

Мне кто-то советовал Folland G. B. Quantum field theory: a tourist guide for mathematicians, может быть ТСу пригодится, я так не нашёл времени её оценить как следует.

-- Пн апр 27, 2020 23:28:28 --

vlad9486 в сообщении #1458366 писал(а):

Та да, я надеялся еще больше смысла найти поигравшись с типом состояния квантового поля

Э, тут даже я скажу что вы пытаетесь выжать камень. Сам тип, который вы составили, и слишком общий — надо же как минимум учитывать, что распределение на классических состояниях может быть не совсем уж любое, и притом некоторые будут эквивалентны — и недостаточно общий — это может быть обобщённая функция. Потом, спиноры надо представить как следует, см. Xaositect. И всё равно вроде тип останется слишком общим. Оптимистичным сценарием было бы включить туда информацию о динамике, но вряд ли это affordable.

[vlad9486]

Alex-Yu в сообщении #1458360 писал(а):

Вы вообще-то знаете, что такое квантовые наблюдаемые?

Самосопряженные операторы. Чтобы посчитать вероятность измерения наблюдаемой в состоянии, нужно вычислить произведение сопряженного состояния, на результат применения оператора к состоянию $\left\langle\varphi^*\left\lvert X\right\rvert\varphi\right\rangle$, это будет действительное число пропорциональное вероятности.

Alex-Yu в сообщении #1458360 писал(а):

И как именно задаются физически осмысленные состояния в КТП.

Вот этого не знаю, квантовую механику пробовал давно, а до КТП так и не дошел. Когда-то на этом форуме читал что к вакууму нужно применить операторы рождения и уничтожения и так наделать частиц и античастиц. Наверное это оно, но руками никогда такого не делал.

[Alex-Yu]

vlad9486 в сообщении #1458372 писал(а):

Чтобы посчитать вероятность измерения наблюдаемой в состоянии, нужно вычислить произведение сопряженного состояния, на результат применения оператора к состоянию $\left\langle\varphi^*\left\lvert X\right\rvert\varphi\right\rangle$, это будет действительное число пропорциональное вероятности.

Неверно

-- Вт апр 28, 2020 01:40:45 --

vlad9486 в сообщении #1458372 писал(а):

Вот этого не знаю,

А без этого никак. Причем квантовая механика здесь мало чем поможет. Дело в том, что пространство состояний в КТП намного-намного сложнее.

[vlad9486]

Утундрий в сообщении #1458340 писал(а):

physicsworks в сообщении #1458332 писал(а):

... когда математики (не матфизики, а чистые математики) пытаются разобраться в квантах или, еще хуже, в КТП. Ну, на долго их все равно не хватает... (и хорошо)

Шафаревич А. И. - Геометрические структуры квантовой механики - Вводная лекция
А как насчёт этого?

В университете как раз это рассказывали. Это был очень сжатый семестр квантовой механики для педагогического факультета. А сам я учитель математики и информатики по диплому

[Alex-Yu]

vlad9486 в сообщении #1458372 писал(а):

Наверное это оно

Оно. Но сначала со всем этим надо разобраться. Кроме того, есть более изощренные методы (восходящие к Швингеру), весьма полезные для теорий с взаимодействием (по-простому с операторами рождения-уничтожения при наличии взаимодействия не очень-то получается). Вообще "в лоб" (как в простейшей одночастичной КМ) в КТП ничего реального посчитать нельзя (ну разве что в теории без взаимодействия можно, и довольно просто, используя формализм операторов рождения-уничтожения). Причина --- слишком сложное пространство состояний. Поэтому обходятся обходными путями.

[arseniiv]

vlad9486 в сообщении #1458372 писал(а):

Чтобы посчитать вероятность измерения наблюдаемой в состоянии, нужно вычислить произведение сопряженного состояния, на результат применения оператора к состоянию $\left\langle\varphi^*\left\lvert X\right\rvert\varphi\right\rangle$, это будет действительное число пропорциональное вероятности.

А возьмите простую систему типа например кубита и рассмотрите наблюдаемую, которая бы в одном состоянии была равна +1, а в ортогональном ему — −1 (или лучше некие $A$ и $B$). Значения наблюдаемой, когда она точно определена — это собственные числа оператора, а соответствующие собственные векторы — соответствующие состояния. Теперь вы можете вычислить, что даст ваше выражение, и проверить слова.

[vlad9486]

arseniiv в сообщении #1458383 писал(а):

vlad9486 в сообщении #1458372 писал(а):

Чтобы посчитать вероятность измерения наблюдаемой в состоянии, нужно вычислить произведение сопряженного состояния, на результат применения оператора к состоянию $\left\langle\varphi^*\left\lvert X\right\rvert\varphi\right\rangle$, это будет действительное число пропорциональное вероятности.

А возьмите простую систему типа например кубита и рассмотрите наблюдаемую, которая бы в одном состоянии была равна +1, а в ортогональном ему — −1 (или лучше некие $A$ и $B$). Значения наблюдаемой, когда она точно определена — это собственные числа оператора, а соответствующие собственные векторы — соответствующие состояния. Теперь вы можете вычислить, что даст ваше выражение, и проверить слова.

Ну пусть состояние — двухмерный вектор, а наблюдаемая — диагональная матрица с $A$ и $B$ по диагонали. Тогда собственные векторы — $(1, 0)$ и $(0, 1)$, а собственные значения — $A$ и $B$. Да, вспомнил что там не все так просто и измерять можно только собственные значения, а вероятности получаются если оставить в состоянии только ту координату, которая будет сворачиваться. В нашем случае квадрат первой координаты даст вероятность измерения $A$, а квадрат второй — $B$.

[arseniiv]

Квадрат модуля. А если бы $A$ было дважды или там трижды вырожденным?.. (Но это тут будет уже совсем оффтоп.)