Будет ли "окно" соболевской функции соболевской?

[demolishka]

Рассмотрим функцию $v \colon [-\tau,T] \to \mathbb{H}$, где $0<\tau<T$ и $\mathbb{H}$ - некоторое гильбертово пространство. Предположим, что $v \in W^{1,2}(-\tau,T;\mathbb{H})$, т. е. найдется функция $w \in L_{2}(-\tau,T;\mathbb{H})$ такая, что при $t \geq -\tau$ имеем

$$v(t) = v(-\tau)+\int_{-\tau}^{t}w(s)ds.$$

Рассмотрим теперь $L_{2}(-\tau,0;\mathbb{H})$-значную функцию $V(t)$, где $0 \leq t \leq T$ и $[V(t)](\theta)=v(t+\theta)$ для $\theta \in [-\tau,0]$. Будем называть $V$ окном $v$ (если кто-то знает более хороший термин - подскажите ). Верно ли, что $V \in W^{1,2}(0,T;L_{2}(-\tau,0;\mathbb{H}))$, т. е. найдется $W \in L_{2}(0,T;L_{2}(-\tau,0;\mathbb{H}))$ такая, что

$$V(t) = V(0) + \int_{0}^{t} W(s)ds,$$

причем $[W(t)](\theta)=w(t+\theta)$?

Из представления для $v$ легко получить для $t \geq 0$ и $\theta \in [-\tau,0]$, что

$$v(t+\theta) = v(\theta) + \int_{0}^{t}w(s+\theta)ds.$$

Поэтому вопрос сводится к совпадению в пространстве $L_{2}(-\tau,0;\mathbb{H})$ функций

$$u_{1}(\theta):= \int_{0}^{t}w(s+\theta)ds$$

и

$$u_{2} := \int_{0}^{t} w(s+\cdot)ds,$$

где последний интеграл понимается как интеграл от $L_{2}(-\tau,0;\mathbb{H})$-значной функции. Оператор сдвига в $L_{2}$ непрерывен, поэтому $s \mapsto w(s+\cdot)$ - непрерывная $L_{2}(-\tau,0;\mathbb{H})$-значная функция и интеграл, определяющий $u_{2}$ корректно определен. Также функция $u_{1}(\cdot)$ непрерывна, как легко видеть из представления и непрерывности $v$ (или из соображений непрерывности оператора сдвига).

Я пытался брать риманову сумму для $u_{2}$ и сходящуюся почти всюду её подпоследовательность, но она вроде как не обязана сходится п. в. к $u_{1}(\theta)$, так как $w$ только лишь из $L_{2}$.

[demolishka]

Верно даже, что $V(\cdot)$ - непрерывно дифференцируемая $L_{2}(-\tau,0;\mathbb{H})$-значная функция. Это Lemma 3.4, p. 46 из Bátkai A. Piazzera S. Semigroups for Delay Equations.