Коммутирующие операторы и контактное преобразование

[novichok2018]

На самом деле это разные облики такого общего метода - операторы преобразования. Преобразуют более сложный оператор в более простой, модельный. Возникли (если не считать подобных матриц) как преобразования оператора Штурма-Лиувилля во вторую производную, и для подобных. Изложены в ряде классических книг: Carroll, Lions, Delsart, Марченко, Левитан, Фаге, ну и всякие наши недавние. Мне поэтому интересны различные подобные разветвления.

[пианист]

DLL, novichok2018 - спасибо!
Padawan
Симметрии преобразований вида $x, u, p \rightarrow x, u, p$. Они могут проектироваться на $x, u$, тогда это просто продолжение точечных преобразований, что в этом смысле тривиально, а могут перемешивать $x$ и/или $u$ с $p$, эти нетривиальные. Возможны только если зависимая функция одна.
Upd, в смысле, нетривиальные бывают, только если зависимая одна.

(Оффтоп)

Туплю все-таки ;(

-- Сб апр 18, 2020 17:56:42 --

novichok2018
Не уверен, что можно говорить о методе. Как минимум, о методе в смысле: взял то-то, сделал то-то, должно получиться нечто.

[Padawan]

пианист
Не понятно. Вы хотите сказать, что это просто любые векторные поля вида $\xi(x,u,p)\frac \partial{\partial x}+\eta(x,u,p)\frac \partial{\partial u}+\zeta(x,u,p)\frac \partial{\partial p}$ в пространстве $(x,u,p)$? Как они действуют на функции? Если у нас есть функция $u=f(x)$, ей соответствует кривая в пространстве $(x,u,p)$. Ну, перейдет она в какую-то другую кривую. Но эта новая кривая же не обязательно будет получаться из некоторой функции $u=\widetilde f(x)$.

[пианист]

Извиняюсь, "зажевал". Подразумевались преобразования, сохраняющие соотношение $du - p\cdot dx = 0$. Ну и, по ходу, по необходимости продолженные дальше, на старшие производные.

[Padawan]

Можно пример?
И как это соотносится с преобразованиями вида $X=X(x,u,p)$, $U=U(x,u,p)$, которые по кривой $u=f(x)$ строят кривую $U=F(X)$?

[пианист]

Ну вот преобразование Лежандра: $x^i' = p_i, u' = p_i x^i - u, p_i' = - x^i$.
А что это за такие преобразования? Если к этому добавить выражение для $p$, и если при этом будет сохраняться (неохота писать) соответствующая дифформа, то будет контактное. Но если $X$ и $U$ взяты "от балды", то этот номер не пройдет, контактные так не строятся. Исключая случай отсутствия зависимости от $p$, точечное преобразование.

[VanD]

А в терминах характеристик отрицательный ответ на вопрос о возможности в общем случае выпрямить поле контактных симметрий контактным преобразованием не получается?

Там же для случая пространства с переменными $(x, u, p)$ по каждой характеристике восстанавливается система из трёх уравнений на две функции (ну или две таких возможных системы). Нельзя ли там как-то, обойдясь малой кровью, угадать характеристику, для которой соответствующие системы несовместны?

[пианист]

Не понимаю, что значит в терминах характеристик. Вроде бы, характеристики и преобразования очень разные предметы, даже на тупом уровне: характеристика атрибут диффура, а преобразования/поля дифформы.

VanD в сообщении #1455927 писал(а):

Там же для случая пространства с переменными $(x, u, p)$ по каждой характеристике восстанавливается система из трёх уравнений на две функции (ну или две таких возможных системы).

Не знаю, о чем речь, но неважно. Как это связано с предметом?

(Оффтоп)

Да и, по любому, ежели предмет в самом деле интересует, почему бы не взять общего вида поле и общего вида преобразование и посмотреть, как сильно одно может изменить другое?

пианист в сообщении #1455923 писал(а):

Но если $X$ и $U$ взяты "от балды", то этот номер не пройдет, контактные так не строятся.

Хочу уточнить: контактные не строятся, но если не стоит задача получить преобразования чего-то конечномерного, то можно и с произвольными $X, U$, но просто в $P$ попадут вторые производные, в выражение для вторых третьи etc

[VanD]

пианист в сообщении #1455967 писал(а):

Не понимаю, что значит в терминах характеристик.

С каждым оператором контактной симметрии можно связать оператор в характеристической форме вида $E_{\varphi} = \varphi(x, u, p)\partial_u + D_x(\varphi)\partial_{p} + ...$. Можно посмотреть, как он преобразуется при заменах $(x, u, p)\mapsto (\overline{x}, \overline{u}, \overline{p})$ и найти характеристику результата. Затем попробовать приравнять её к единице (это равносильно тому, чтобы выпрямить изначальное контактное поле в $\partial_{\overline{u}}$). Речь шла об этом. Просто небольшая оптимизация прямого алгоритма посмотреть, как преобразование может изменить поле. Вот я и спросил, не пробовал ли в этой ветке кто-нибудть такое глянуть.

пианист в сообщении #1455967 писал(а):

Не знаю, о чем речь, но неважно. Как это связано с предметом?

Связь самая прямая. Получится одно уравнение на приведение характеристики к единице и ещё два уравнения останутся из требования на замену сохранять распределение $du - p dx = 0$ (ну это после исключения из полученной системы $\overline{p}$). Дальше выбором стартовой характеристики $\varphi$ можно пытаться добиться несовместности полученной переопределённой системы.

[пианист]

А, понял. Я просто это никогда не мыслил в качестве характеристики.
А так да, согласен. Собс-но, я же это и предложил выше :)
В принципе, задача чисто техническая, но такая, что решиться можно по видимости только при очень большом желании.
Ещё подумалось про группы функций, Ли их юзал для схожих целей.

[VanD]

Ох, я там поторопился про переопределённость говорить. Там ещё из одного уравнения выразится коэффициент пропорциональности между $d\overline{u} - \overline{p}d\overline{x}$ и $du - pdx$ и в итоге для выпрямления заданного поля получится система двух нелинейных уравнений на две функции. Такой путь получения ответа выглядит сложновато. Нужно всё-таки из геометрических соображений что-то думать, видимо.

[DLL]

Так, а такой вопрос - возьмем на плоскости $(x,y)$ контактную одномерную алгебру Ли.
Как я понимаю, неприводимые к точечным группам есть только 6, 7 и 10-мерные группы Ли.
Следовательно, одномерную всегда можно неким контактным преобразованием свести к сдвигам.
Есть ли какое-нибудь простое (геометрическое или еще какое) доказательство этого факта?

[pogulyat_vyshel]

DLL в сообщении #1453068 писал(а):

Есть теорема, что точечным преобразованием любой оператор может быть преобразован к сдвигу.
Есть ли какая-нибудь теор

А оператор поворота плоскости в окрестности неподвижной точки тоже можно привести к сдвигк?
Любопытно просто

[DLL]

Там обычно подразумевается что около несингулярной точки.

[pogulyat_vyshel]

я эту терминологию плохо понимаю, но у меня почему-то такое ощущение, что речь идет о теореме о выпрямлении векторного поля в гамильтоновой версии. если это так то гуглите по форуму, я,кажется,даже доказательство сюда выкладывал