Точки на правильном многоугольнике

[EvgenyLem]

Есть известная задача по геометрии.
На сторонах квадрата в произвольном месте поставили по одной точке. Затем квадрат стерли, а точки остались.
Требуется с помощью циркуля и линейки восстановить квадрат.
Если вместо квадрата взять правильные 6-угольник, 8-угольник, 10-угольник и т.д., то задача тоже решается.
Вопрос к специалистам математики: можно ли решить аналогичную задачу для 5-угольника, 7 угольника и т.д.?

[slavav]

В правильный $n$-угольник можно вписать другой правильный $n$-угольник. Значит задача неразрешима однозначно.

[slavav]

Почитал решение для квадрата. Понравилось. Его можно обобщить для произвольного $n$-угольника. Если вы умеете строить правильный $n$-угольник циркулем и линейкой, то вы можете решить для него эту задачу тоже циркулем и линейкой. Если у вас есть транспортир, то вы решите эту задачу для любого правильного $n$-угольника.
Больше подсказывать не хочу - мы в разделе ПР/Р.

[EvgenyLem]

To Slavav
Квадрат и правильные 6-ти, 8-ми (и т.д. четные) угольники можно восстановить. На примере 6-ти угольника:
Делаем отрезки, соединяющие точки, лежащие на противоположных сторонах.
В сторонке ставим точку О.
Переносим середины трех отрезков на точку О.
Так мы назначили центр описанного (вписаннного) многоугольника.
Поворачиваем отрезки на угол 60 градусов, получаем дополнительно 6 новых точек.
Соединяя попарно старую точку с новой получаем фрагмент стороны шестиугольника.

Что касается пятиугольника, то найти центр описанной окружности не представляется возможным, поэтому задача не имеет решения. ИМХО.

[slavav]

EvgenyLem, а для четырнадцатиугольника на какой угол вы будете отрезки поворачивать?
То что предложенное вами решение не применимо к пятиугольнику, не означает что задачу нельзя решить другим способом. Задача разрешима для пятиугольника и для любого другого правильного многоугольника, который строится циркулем и линейкой.

[iifat]

Что-то ничего-то не понимаю.
Берём квадрат. Чуть-чуть поворачиваем вокруг центра. Получаем 8 точек пересечения, по две на каждой стороне.
Оставляем на каждой из сторон по одной точке.
Итого: вот четыре точки, через которые можно провести два (как минимум!) квадрата. То есть, задача построения квадрата по четырём точкам решается — ну, хотя бы в некоторых случаях — неоднозначно.
Или я не понял задачу?

[slavav]

iifat, для точек в общем положении задача разрешима однозначно. В остальных случаях можно предъявить любое возможное решение.

[EvgenyLem]

To iifat: В квадрате поворачиваем на угол 360/4
To slavav: В 14-ти угольнике поворачиваем на угол 360/14
Я чертил в автокаде - все получается.

[slavav]

EvgenyLem, угол $\frac{360}{14} = \frac{\pi}{7}$ нельзя построить циркулем и линейкой. Значит и сделать поворот не получится.

[EvgenyLem]

To slavav, как разделить окружность с помощью циркуля на 7 частей в Интернете куча страниц. Значит и на 14 можно.
Не в этом дело.
Если правильный многоугольник нечетный, то задача не решается (видимо).
Я пробовал работать с пятиугольником в Автокаде - дохлый номер.

[slavav]

EvgenyLem, если вы умеете делить окружность на семь частей, то вы умеете строить правильный семиугольник. А это противоречит Теореме Гаусса — Ванцеля. Уточню что речь идёт о построении циркулем и линейкой.

Задача разрешима для пятиугольника и для всех многоугольников из теоремы что упомянута выше.

[TOTAL]

slavav в сообщении #1455425 писал(а):

EvgenyLem, если вы умеете делить окружность на семь частей, то вы умеете строить правильный семиугольник.

На семь частей я могу разделить одним карандашом. Ткну семь раз - и готово!

[slavav]

EvgenyLem в сообщении #1455422 писал(а):

как разделить окружность с помощью циркуля на 7 частей в Интернете куча страниц

Во всех этих страницах строят сторону семиугольника как высоту правильного единичного треугольника: $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660254037844386$. А для точного построения нужна $2\sin{\frac{\pi}{7}} \approx 0.8677674782351162$.
Все построения из интернета приблизительные. А мы (я например) решаем задачу точно. Так вот, нельзя построить циркулем и линейкой семиугольник точно. Можно приблизительно, а точно - нельзя.

[EvgenyLem]

To slavav: Согласился с Вами и с Гауссом, что циркулем и линейкой не построить точно правильные многоугольники с сторнами 7, 11, 13, 19 ...
Правильный пятиугольник построить можно. Мы на нем поставили по одной точке на каждой стороне в произвольном месте. Пятиугольник стерли, а точки остались. Надо по точкам восстановить пятиугольник.
Может быть такая задача уже решалась математиками (Гаусс, Риман, Дирихле …)?
Профессионалы подскажите, вы народ эрудированный.

[slavav]

EvgenyLem, отыщите на просторах интернета решение для квадрата (не ваше, другое, с окружностями и построением диагоналей). Оно обобщается для пятиугольника.