Груз на дне колодца

[profilescit]

На дне колодца лежит небольшого размера груз массы $m$, привязанный к невесомому упругому шнуру. Другой конец шнура прикреплён к оси колодезного ворота, а на самом шнуре сделана метка. В начальный момент времени шнур не провисает и не растянут. Затем ворот начинают вращать, наматывая шнур на ось. Какую работу нужно совершить, чтобы оторвать груз от дна колодца? В начальный момент длина шнура равна $l$, а метка на шнуре находится на расстоянии $0,9l$ от дна колодца. Из- вестно также, что шнур, наматываясь на ворот, не проскальзывает по нему, а метка в момент отрыва груза от дна колодца оказывается на оси ворота.

Попытки решения: Чтобы оторвать груз, надо добиться того чтобы сила натяжения нити была равна весу груза, то есть $T_f = mg$ а так-же начальное условие $T_0 = 0$
Сила натяжения всегда направлена в сторону движения, элементарная работа $dA = T dl$, потенциальная энергия груза не изменяется
К сожалению, не могу разобраться, как найти зависимость силы натяжения нити от передвижения конца нити

(Оффтоп)

Ответ: $\frac{mgl}{18}$

[Pphantom]

Как выглядит выражение для потенциальной энергии упругой силы, вы знаете?

[profilescit]

Pphantom в сообщении #1455191 писал(а):

Как выглядит выражение для потенциальной энергии упругой силы, вы знаете?

$E_p = \frac{k (\Delta x)^2}{2}$

В таком случае, изменение потенциальной энергии есть работа внешних сил (работа ворота)

Изменение длины: $\Delta x = l - 0.9 l = 0.1 l$
Можем записать что $m g = 0.1 k l$
Тогда изменение потенциальной энергии $\Delta E_p = A = \frac{k (0.1 l)^2}{2} = \frac{mgl}{20}$
Ответ немного не сходится( Этот вариант я пробовал в первую очередь, из за ответа решил попробовать по другому.

[EUgeneUS]

profilescit
Если участок троса выше метки абсолютно не растяжим, то Ваше решение будет верным. Но предлагается решить другую задачу.

[profilescit]

EUgeneUS В таком случае, отрезок от метки до пола можно заменить пружиной жесткости $\frac{10}{9}k$
В таком случае, равновесие будет когда $\frac{10}{9}k 0.1 l = \frac{kl}{9} = mg$
Изменение потенциальной энергии всего троса $\Delta E_c = \frac{k (0.1 l)^2}{2} = \frac{9 m g l}{200}$
Ответ конечно стремится к верному, но ошибку выше не могу найти.

[EUgeneUS]

profilescit
И то, и другое имеют слабое отношения к задаче.
Тут смысл в том, что "рабочая" часть пружины меняется с ростом натяжения, а значит меняется её жесткость.

[EUgeneUS]

(Мои попытки решения)

У меня получилось $A = mgL(1 - 9 \ln {\frac{10}{9}})$
Что составляет примерно $\frac{mgL}{19.3}$
Может где и накосячил.... Но от логарифма в ответе никак не получается избавиться.

[EUgeneUS]

UPD:

Можем сделать две простые оценки, снизу и сверху.
1. Оценка снизу: трос частично упругий: выше $0.9L$ абсолютно жесткий. Верный ответ для этого случая получен ТС в этом посте.

2. Оценка сверху: трос весь упругий. Берем за верхний конец и тянем его вверх, не наматывая на ворот.
Аналогичным образом, получаем в момент отрыва груза $\Delta L = \frac{10}{9}L - L = \frac{1}{9}L$ и $A = \frac{mgL}{18}$

То есть то, что написано в ответе.
Но это ответ от другой задачи, не той, что приведена в стартовом посте.

profilescit
Скажите, пожалуйста, из какого задачника Вы взяли это задачу с этим ответом?

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1455398 писал(а):

Но это ответ от другой задачи.

Да, непроскальзывание всю школьность задачи портит.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1455399 писал(а):

Да, непроскальзывание всю школьность задачи портит.

А на мой взгляд делает её (задачу) лучше
Но если имелся в виду "совсем школьный вариант", то в условии должно быть явно указано, что трения между воротом и тросом нет.

[Amw]

wrest в сообщении #1455399 писал(а):

Да, непроскальзывание всю школьность задачи портит.

Непроскальзывание делает задачу интересной, нетривиальной - получается, что длина растягиваемой части троса меняется, следовательно $E_p = \frac{k (\Delta x)^2}{2}$ здесь использовать нельзя.

[Pphantom]

По-видимому, уже все, что можно, сделали, так что выкладка решения никому не помешает.

Это задача с зонального этапа Всероса по физике 1993 года, 10 класс. Авторское решение есть тут.

[EUgeneUS]

На Всеросе качественные условия (явно указано про непроскальзование) и качественное (в смысле - высокого качества ) решение. Что и следовало ожидать.

Осталась интрига, откуда взялось вот это:

profilescit в сообщении #1455186 писал(а):

Ответ: $\frac{mgl}{18}$

[profilescit]

EUgeneUS, задачи я решаю отсюда https://mathus.ru/phys/ (Механика, Работа и Энергия, задача 27)
Там-же и ответ который я дал.