Вид неопределенных (берущихся!) интегралов

[artempalkin]

nnosipov в сообщении #1454827 писал(а):

Если Вас интересует методы символьного интегрирования

Ну, меня интересует, но все же пока что мне интересно конкретно этот тип интегралов рассмотреть, потому что строятся они элементарным образом, а брать их можно только по самому общему алгоритму Риша? Вряд ли.

arseniiv в сообщении #1454835 писал(а):

От алгоритма интегрирования нужно только умение увидеть в конкретном выражении вот такую общую форму, и он справится.

Я не пишу алгоритмов программ, меня интересует этот вопрос на обывательском уровне :)

Я немного поясню. Я попытался подойти с какой-то точки зрения к этому вопросу, к примеру, так: если я подозреваю, что заданный интеграл $\int f(x) e^x dx$ имеет такой вид, то естественно проверить, что $U'+U=f(x)$. Но решение этого дифура приводит к тому же интегралу (не совершенно неожиданно, но все же). Ясно, что по алгоритму Риша можно взять любой интеграл, но ведь мы не применяем алгоритм Риша для всех интегралов (хотя, возможно, это было бы педагогически правильней, ведь это самый общий подход). Хочется чего-то более практически применимого.

[Otta]

artempalkin в сообщении #1455098 писал(а):

Ну, меня интересует, но все же пока что мне интересно конкретно этот тип интегралов рассмотреть, потому что строятся они элементарным образом, а брать их можно только по самому общему алгоритму Риша? Вряд ли.

Видите ли, не совсем понятно, что именно Вы хотите обсудить. Потому что даже очень страшный на вид интеграл можно построить банальным образом. Записать на бумажечке функцию, аккуратно ее продифференцировать, упростить до безобразия, результат выдать для интегрирования, бумажечку сохранить себе, чтобы было с чем сверять ответ. Стряпать берущиеся интегралы так можно без ограничений. А вот способов, которыми они берутся, глядя только на то, что получилось на выходе, на сам интеграл, уйма, и они не универсальны.

Так что именно Вы хотите узнать?

[artempalkin]

Otta в сообщении #1455107 писал(а):

Так что именно Вы хотите узнать?

Мне хочется понять, как решать легко придумываемый (но тяжело пока что берущийся) интеграл вида $\int (U'+U) e^x dx$.

Otta в сообщении #1455107 писал(а):

Потому что каждый, даже очень страшный на вид интеграл можно построить банальным образом

Да, вы сформулировали то, что я пытался сформулировать!
До сих пор я никогда не мог сам придумывать интегралы, которые при этом не мог бы потом взять. Более того, "хитрые" интегралы (особенно неопределенные, об определенных другой разговор) было "днем с огнем", не так уж просто и найти. Возьмите любой задачник, реально берущихся, но при этом непонятно как, интегралов в них не так уж и много. И тут я в руки получаю способ составлять на первый взгляд неберущиеся, но при этом берущиеся, интегралы, в неограниченных количествах. Можете считать, что я не могу в это поверить, и пытаюсь понять, где общий способ решения.
Уважаемые участники комментируют, что можно использовать алгоритм Риша и в таком духе, и это понятно, его всегда можно использовать :)

К примеру, вы знаете способ составлять берующиеся, но сложные, интегралы from the scratch? Описанный вами способ, мне кажется, не работает. Это надо очень постараться (либо должно сильно повезти), чтобы, продифференцировав какую-то даже большую функцию, получить компактное выражение, чтобы человек, у которого большой опыт интегрирования, прямо почесал голову и сказал, что не знает, что тут делать. У меня так пока не получалось.

[kotenok gav]

Ваша задача - в точности решение линейного диффура $U'+U=p(x)$. Его решение - $U=e^{-x}(\int p(x)e^x\,dx + C)$. Как видим, пришли к тому же самому.

[artempalkin]

kotenok gav в сообщении #1455172 писал(а):

Ваша задача - в точности решение линейного диффура $U'+U=p(x)$. Его решение - $U=e^{-x}(\int p(x)e^x\,dx + C)$. Как видим, пришли к тому же самому.

artempalkin в сообщении #1455098 писал(а):

Я попытался подойти с какой-то точки зрения к этому вопросу, к примеру, так: если я подозреваю, что заданный интеграл $\int f(x) e^x dx$ имеет такой вид, то естественно проверить, что $U'+U=f(x)$. Но решение этого дифура приводит к тому же интегралу (не совершенно неожиданно, но все же).

Ну как бы, видимо, да. Получается (кроме каких-то запредельных методов, типа алгоритма Риша) общих методов решения задачи нет?

[novichok2018]

Есть ещё подобный метод, взять производную от чего то, чтобы получилось страшенное, и требовать назад проинтегрировать.

[artempalkin]

novichok2018 в сообщении #1455197 писал(а):

Есть ещё подобный метод, взять производную от чего то, чтобы получилось страшенное, и требовать назад проинтегрировать.

А вы можете привести пример? :) Только чтобы это "страшенное" получалось ну хотя бы относительно компактным (понятно, что речь идет не об "огромных" выражениях, а о неочевидным образом интегрируемых). Как я писал выше, у меня не получается с помощью этого метода придумать "неберущиеся" берущиеся интегралы.

[kotenok gav]

artempalkin в сообщении #1455185 писал(а):

Получается (кроме каких-то запредельных методов, типа алгоритма Риша)

Существуют алгоритмы лучше алгоритма Риша. Скажем, если под интегралом обобщенная гипергеометрическая функция, мы можем проинтегрировать такую сумму почленно, и тогда уже применить алгоритмы из A=B (их там куча).

[novichok2018]

Если уж мы ухлдим в абстракции, то для интегралов от функций гипергеометрического типа есть замечательный метод, разработанный О.И.Маричевым и основанный на теореме Слейтер. Он есть в книге Маричева и обзоре Брычков,Прудников , Маричев в ВИНИТИ. На нём основаны пятитомник их по интегралам и интегрирование в программе МАТЕМАТИКА. A=B тоже отличная книга и родственные ей про гипергеометрическое интегрирование.
Про пример производная/интеграл - здесь были такие примеры, можно поискать или самому продифференцировать.

[artempalkin]

novichok2018 в сообщении #1455271 писал(а):

Про пример производная/интеграл - здесь были такие примеры, можно поискать или самому продифференцировать.

Ясно. Спасибо за комментарий.