Мaтрица оператора

[kot-obormot]

Здравствуйте! Возникли сомнения по поводу идеи решения - верна ли она?

Линeйный oпeратор А, действующий на некотором двумepнoм прoстранстве в базисе $e_1,e_2$ имеет матрицу $A= \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&1\\ \end{pmatrix}$. Найти матрицу этого оператора в базисе $e_1'=e_1-e_2, e_2'=2e_1+e_2$.

Можно ли было делать так:

Запишем координаты вектора $x=x_1e_1+x_2e_2=y_1e_1'+y_2e_2'$

В результате действия оператора на вектор $x$ получаем $Ax=\begin{pmatrix} 2x_1+x_2 \\ x_1+x_2\\ \end{pmatrix}$

Используя соотношение $x=x_1e_1+x_2e_2=y_1e_1'+y_2e_2'$ получаем, что $x_1=y_1+2y_2; x_2=y_2-y_1$.

Тогда $Ax=\begin{pmatrix} 2(y_1+2y_2)+y_2-y_1 \\ y_1+2y_2+y_2-y_1\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y_1+5y_2 \\ 3y_2\\ \end{pmatrix}$

Получаем, что $B\cdot \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y_1+5y_2 \\ 3y_2\\ \end{pmatrix}$

Тогда выходит, что $B= \begin{pmatrix} 1&5\\ 0&3\\ \end{pmatrix}$

[mihaild]

Попробуйте найти например образ $e_1'$ в базисе $(e_1, e_2)$ двумя способами - выразив этот вектор в исходном базисе и подставив в $A$, или подставив в $B$ и потом выразив результат в исходном базисе.

[kot-obormot]

Возникла еще одна идея :

Походу матрица переда будет $S=\begin{pmatrix} 1&-1\\ 2&1\\ \end{pmatrix}$ , потому матрица второго оператора будет $B=S\cdot A\cdot A^{-1}$. Будет ли правильно так?

-- 15.04.2020, 19:52 --

mihaild в сообщении #1454868 писал(а):

выразив этот вектор в исходном базисе и подставив в $A$

Спасибо, но не очень понял. Как это выразить в исходном базисе? Ведь он итак выражен в условии $e_1'=e_1-e_2$. А как можно вектор подставить? Имеется ввиду вычислить $Ae_1'$?

[mihaild]

kot-obormot в сообщении #1454875 писал(а):

$B=S\cdot A\cdot A^{-1}$. Будет ли правильно так?

Так точно не будет:)

kot-obormot в сообщении #1454875 писал(а):

Как это выразить в исходном базисе?

Вот у вас есть вектор $e_1'$, оператор $A$ и матрица этого оператора в двух базисах - в $(e_1, e_2)$ и $(e_1', e_2')$. Еще есть вектор $Ae_1'$, мы хотим его записать в базисе $(e_1, e_2)$. Для этого есть два способа: записать вектор $e_1'$ в базисе $(e_1, e_2)$ и умножить то что получилось на матрицу оператора $A$ в этом базисе, или же записать вектор $e_1'$ в базисе $(e_1', e_2')$, умножить то что получилось на матрицу $A$ в базисе $(e_1', e_2')$, получить координаты в этом же базисе, и перевести в базис $(e_1, e_2)$.

[kot-obormot]

$B=S\cdot A\cdot S^{-1}$. А так будет правильно?

-- 15.04.2020, 20:12 --

mihaild в сообщении #1454885 писал(а):

Вот у вас есть вектор $e_1'$, оператор $A$ и матрица этого оператора в двух базисах - в $(e_1, e_2)$ и $(e_1', e_2')$. Еще есть вектор $Ae_1'$, мы хотим его записать в базисе $(e_1, e_2)$. Для этого есть два способа: записать вектор $e_1'$ в базисе $(e_1, e_2)$ и умножить то что получилось на матрицу оператора $A$ в этом базисе, или же записать вектор $e_1'$ в базисе $(e_1', e_2')$, умножить то что получилось на матрицу $A$ в базисе $(e_1', e_2')$, получить координаты в этом же базисе, и перевести в базис $(e_1, e_2)$.

Сейчас буду думать, спасибо)