Вид неопределенных (берущихся!) интегралов

[artempalkin]

Вашему вниманию предлагаются три интеграла:

$$\int \frac{1+\sin x}{1+\cos x}e^x d x $$

$$\int \frac 1{1+x}e^x d x$$

$$\int \frac{2x^2+2x-1}{(x+1)^2}e^{x^2} d x$$

Вопрос такой: чем эти интегралы похожи?
И более интересный вопрос: как их и подобные интегралы взять существенно механически (то есть есть ли какой-то общий метод)? Я что-то не смог пока ничего придумать.

[Pphantom]

А откуда следует, что они должны быть похожи и общий метод существует?

Если я не ошибся, первый и третий интегралы берутся, второй - нет (это спецфункция), так что с шансами на "общий метод" как-то тухло.

[artempalkin]

Pphantom в сообщении #1454733 писал(а):

А откуда следует, что они должны быть похожи и общий метод существует?

В том-то как бы и загадка, чем они похожи :) А что, не похожи? как вы взяли эти интегралы?

Хотел уточнить, что я сам их придумал (точнее, второй и третий), и могу еще придумать кучу. Они строятся определенным методом. Но вот как брать интеграл, построенный таким методом, я пока не понимаю.

Pphantom в сообщении #1454733 писал(а):

Если я не ошибся, первый и третий интегралы берутся, второй - нет (это спецфункция), так что с шансами на "общий метод" как-то тухло.

Не знаю, почему я написал такой интеграл вторым, должен был быть такой:

$$\int \frac x {(x+1)^2}e^x dx $$

[Pphantom]

artempalkin в сообщении #1454737 писал(а):

как вы взяли эти интегралы?

А сами?

artempalkin в сообщении #1454737 писал(а):

должен был быть такой:

$$\int \frac x {(x+1)^2}e^x dx $$

Да, этот берется. Но общего во всех трех разве что интегрирование по частям (что, пожалуй, слишком банально).

[artempalkin]

Pphantom в сообщении #1454745 писал(а):

А сами?

Я их не брал, я их придумал :) Первый интеграл (он встречается в нескольких задачниках, например, в Демидовиче и Кудрявцеве) я с большим трудом распаковал, заметив симметрию, если дробь разбить хитрым образом.

Pphantom в сообщении #1454745 писал(а):

Да, этот берется. Но общего во всех трех разве что интегрирование по частям (что, пожалуй, слишком банально).

А можно вас смиренно попросить хотя бы примерно показать, как вы взяли любой из этих интегралов по частям? Ну то есть "по частям с плясками с бубном" это да, но "по частям" просто... может, это и есть недостающее звено моего искомого пазла?

[Pphantom]

Нет, это не ПРР. Но они действительно берутся: второй (в новой редакции) тривиально, третий интегрировать по частям придется два раза, в первом сначала надо сделать универсальную тригонометрическую подстановку (или что-нибудь подобное) и уже потом по частям.

[artempalkin]

Pphantom в сообщении #1454755 писал(а):

Нет, это не ПРР.

А что такое ПРР?

[Pphantom]

artempalkin в сообщении #1454768 писал(а):

А что такое ПРР?

Раздел "Помогите решить, разобраться".

[artempalkin]

Pphantom в сообщении #1454788 писал(а):

Раздел "Помогите решить, разобраться".

Хм, ну так я там и не стал писать именно потому что там вроде как люди не пишут (и правильно делают) решений, а "наводят на мысли" и так далее. Здесь же мне само решение не принципиально (мне никто не задавал таких задач), а я хочу в целом обсудить, как их можно решать. Ну, вам виднее, где что можно, а что нет.

В общем, суть этих интегралов такая: в формуле "по частям" положим $V=e^x$

$$\int U\cdot e^x dx=U\cdot e^x - \int U' \cdot e^x dx$$

Переносим налево интеграл справа

$$\int (U+U') e^x dx=U \cdot e^x$$

Можно подставить любое $U$ и получить сколько угодно разных интегралов, заранее зная решение; при этом интеграл получается сложный и непонятный (я в целом вроде бы умею интегралы брать, но, если бы мне попался 3-й интеграл в, скажем, научных исследованиях, я бы даже не пытался его взять; сразу посчитал бы, что он не берущийся).

Соответственно, вместо $V=e^x$ можно взять $V=e^{x^2}$ или еще что-то, что еще более усложнит интеграл. Я, честно говоря, не очень пока понимаю, как так хитро по частям дважды взять 3-ий интеграл, который взял Pphantom, но сам факт, что он берется дважды по частям (!), хотя придумывается в полминуты... в общем, не понимаю я общего метода решения, который можно применить к интегралам, составленным таким образом.

-- 15.04.2020, 16:59 --

В первом $U=\tg \frac x2$
Во втором $U=\frac 1 {x+1}$
В третьем $U=\frac 1 {x+1}$, при этом $V=e^{x^2}$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: дискутировать не о чем.

[nnosipov]

artempalkin
А Вы попробуйте удивить Вашими конструкциями какую-нибудь систему компьютерной алгебры. Скажем, первые два примера Maple проглотил даже не поморщившись.

[artempalkin]

nnosipov в сообщении #1454810 писал(а):

artempalkin
А Вы попробуйте удивить Вашими конструкциями какую-нибудь систему компьютерной алгебры. Скажем, первые два примера Maple проглотил даже не поморщившись.

Я пробовал, решают. Хотя Маткад третий не решает, Вольфрам берет. Это в том числе наводит меня на мысль, что какой-то, наверное, общий метод должен быть.

-- 15.04.2020, 17:51 --

Видимо, каких-то ограничений на все это нет

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1454822 писал(а):

Хотя Маткад третий не решает, Вольфрам берет.

Третий мне лень было набирать, но вот сейчас набрал --- и Maple мгновенно выдал ответ. Если Вас интересует методы символьного интегрирования, то надо смотреть книжки по компьютерной алгебре. Вот популярный учебник: von zur Gathen J., Gerhard J. Modern computer algebra (3ed., Cambridge University Press, 2013).

[Slav-27]

artempalkin в сообщении #1454685 писал(а):

И более интересный вопрос: как их и подобные интегралы взять существенно механически (то есть есть ли какой-то общий метод)?

Есть алгебраический алгоритм Риша, который получает на вход элементарную функцию и либо говорит, что её неопределённый интеграл -- неэлементарная функция, либо находит элементарную функцию, являющуюся неопределённым интегралом.

UPD: написанное в предыдущем абзаце, кажется, не вполне верно; насколько я понимаю, это связано с тем, что не известен алгоритм, который бы по данной элементарной функции определял, является ли она тождественно нулевой.

Из-за его сложности в большинстве систем компьютерной алгебры этот алгоритм полностью не реализован; если верить Википедии (которая может и врать), он реализован полностью в системе Axiom.

[arseniiv]

В добавок к предыдущему.

artempalkin в сообщении #1454822 писал(а):

Это в том числе наводит меня на мысль, что какой-то, наверное, общий метод должен быть.

Пробуем ваш интеграл в самом общем виде (Mathematica 8):

In[1]:= Integrate[(u[x] + u'[x]) Exp[x], x]
Out[1]= E^x u[x]

Выводы почти очевидны. От алгоритма интегрирования нужно только умение увидеть в конкретном выражении вот такую общую форму, и он справится. Боюсь, современные алгоритмы интегрирования в СКА умеют гораздо более хитрые вещи, хотя не обязательно и для произвольного выражения. Есть шанс, что если вы подберёте подходящую $U$ и потом сильно запутаете подынтегральное выражение, какая-нибудь из СКА (а то и все современные — но тем больше вам работы) не справится.