Маленькие модели ZF

[arseniiv]

Насколько маленькие есть модели у ZF? Маленькие в том смысле, что для них неверно как можно больше аксиом больших кардиналов, что там не существует как можно больше множеств вообще, и ординалов тоже в частности. Это не совсем точное описание, так что заодно интересуюсь, если это рассматривали, какими способами понимали такую маленькость ещё. И существуют ли для какого-то из его пониманий наименьшие модели?

[Slav-27]

Конструктивный универсум Гёделя -- в определённом смысле наименьшая модель.

[arseniiv]

Большое спасибо!

[george66]

Если взять все ординалы и каждому сопоставить семейство множеств $M$ по принципу
$M_0 = \emptyset$
$M_{a+1}=P(M_a)$ (множество подмножеств)
а на предельных ординалах берётся объединение предыдущих семейств, то так получаются все множества (иерархия фон Неймана, следует из аксиомы фундированности). Гёдель предложил на каждом шаге брать не все подмножества, а только подмножества, определимые формулами некоторого языка. Для каждого уровня иерархии язык свой, он содержит константы для множеств, построенных до сих пор и кванторы по множествам, построенным до сих пор (кто знает слово "предикативность", это она и есть). Совокупность так построенных множеств есть наименьшая модель $ZF$, содержащая все ординалы, в ней верна аксиома выбора и континуум-гипотеза.
Но можно уменьшать и совсем по-другому. Например, в иерархии фон Неймана уже на некоторых счётных ординалах получаются модели $ZF$, это как-то следует из "принципа рефлексии", убей не помню, что это такое. Наконец, по теореме Лёвенгейма-Скулема бывают и счётные модели $ZF$.

[mihaild]

george66 в сообщении #1453854 писал(а):

бывают и счётные модели $ZF$

Только внешняя счетность ничего не говорит про то, насколько модель большая.

[arseniiv]

Счётные модели — как раз не так интересно, да, интересны внутренние свойства.