Доказать предел последовательности(Демидович)

[Platon555]

Помогите доказать след предел(подсказку какую-нибудь):

$$\lim\limits_{n \to \infty}^{}\dfrac{\sum\limits_{k=1}^{n}k(k+1)...(k+m-1)}{n(n+1)...(n+m)} = 1/(m+1),$$

где $m$ - натуральное число

Пробовал по индукции по $m$, дальше базы индукции не зашел.
На шаге индукции не могу избавиться от выражение под знаком суммы

[alcoholist]

Platon555 в сообщении #1453708 писал(а):

Помогите доказать след предел(подсказку какую-нибудь)

подсказка: "доказывают" не "предел", а "равенство"
вторая подсказка: Теорема Штольца

[GAA]

Если теоремы Штольца не было, то можно в лоб (телескопТелескопический ряд).
Уже разбирали на эту тему более простые примеры: «Странная задачка».

[Platon555]

Теорема Штольца была, попробую, в лоб не получалось. Спасибо

[Platon555]

С помощью теоремы Штольца решается) спасибо
Вопрос только, что указывает на ее применение?

[nnosipov]

Platon555 в сообщении #1453766 писал(а):

Вопрос только, что указывает на ее применение?

По-моему, ничего не указывает, это дело вкуса. Вот мне, например, захотелось просто вычислить сумму в числителе (записать ее, как говорят, в замкнутом виде). Это ведь фактически сумма с биномиальными коэффициентами, а такие суммы часто действительно вычисляются. И эта сумма не оказалась исключительной.

[thething]

Platon555 в сообщении #1453766 писал(а):

Вопрос только, что указывает на ее применение?

Наличие суммы указывает. Ведь после применения теоремы от знака суммы избавляемся. Остаются детали -- проверка монотонного стремления знаменателя к бесконечности.

[Platon555]

спасибо