Первообразный корень по модулю p и p^2

[Padawan]

В учебниках по теории чисел говорится, что если $a$ -- первообразный корень по модулю $p$, удовлетворяющий условию $a^{p-1}\not\equiv 1\pmod{p^2}$, то число $a$ будет также и первообразным корнем по модулю $p^2$ и вообще по любому модулю $p^\alpha$. Далее, из двух чисел $a$ и $a'=a+p$ по крайней мере одно удовлетворяет условию $a^{p-1}\not\equiv 1\pmod{p^2}$.
Я захотел найти пример простого $p$, для которого наименьший первообразный корень $\mod p$ не является первообразным корнем $\mod p^2$. И численный перебор первых 10000 простых не дал результата. То есть Maple на запрос primroot(p), primroot(p^2) выдал одинаковый результат для первых 10000 простых чисел. Это всегда так?

-- Сб апр 11, 2020 13:51:47 --

На https://mathoverflow.net/questions/27579/is-the-smallest-primitive-root-modulo-p-a-primitive-root-modulo-p2 пишут $p=40487$. Я его просмотрел, также, как и автор вопроса на mathoverflow.

[nnosipov]

Во всяком случае, верно следующее утверждение: если $a$ --- первообразный корень по модулю $p^2$ (или, в общем случае, по модулю $p^\alpha$, где $\alpha \geqslant 2$), то $a$ --- первообразный корень по модулю $p$. То, что в обратную сторону неверно (Ваш вопрос), в некотором смысле ожидаемо --- у Виноградова в "Основах теории чисел" есть пример про сравнение $2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2}$, которое предлагается проверить для $p=1093$ и $p=3511$ (если не ошибаюсь, такие простые называются числами Вифериха по основанию $2$).

Upd. В Maple код

for p from 3 to 100000 do if isprime(p)=true and primroot(p^2)<>primroot(p) then print(p); fi; od;

решает вопрос за пару секунд.