Существование предела по вероятности стационарного процесса

[meshok]

Доброго времени суток! Найти все стационарные процессы $\xi_t, t\geqslant 0$ такие, что существует предел по вероятности $\lim\limits_{t\to\infty}^{} \xi_t$.
Под стационарностью имеется ввиду инвариантность конечномерных распределений процесса относительно любых сдвигов.
Решение: данный предел существует тогда и только тогда, когда $\xi_t=\xi, t\geqslant 0$ P-п.н.
Доказательство:
Достаточность. При любом $\varepsilon>0$ и $\forall t\geqslant 0$ $P\{|\xi_t-\xi|>\varepsilon\}\equiv0$, значит $P-\lim\limits_{t\to\infty}^{} \xi_t$ существует и равен $\xi$.
Необходимость. От противного. Пусть существуют $t, s, t\neq s$ такие что $P\{|\xi_{t}-\xi_s|>\varepsilon\}=\delta>0$ при некотором положительном $\varepsilon$. Т.к. процесс стационарный, то $P\{|\xi_{t+h}-\xi_{s+h}|>\varepsilon\}=\delta$ для любого положительного $h$. Значит процесс не может быть фундаментальным по вероятности, значит он не сходится. Противоречие.
Проверьте, пожалуйста, решение.

[vicvolf]

Посмотрите эргодическую теорему для стационарных в узком смысле последовательностей.

[--mS--]

meshok в сообщении #1453424 писал(а):

Проверьте, пожалуйста, решение.

Правильное решение.