Проективная задача

[george66]

В трёхмерном проективном пространстве даны две (разные) точки $A,B$. Они делят прямую $AB$ на две части (проективная прямая замкнута как окружность). Задача - выбрать одну из двух частей. Это я, пиша программу для геометрических построений, дошёл до инструмента "деление отрезка пополам". Предлагаю задавать часть при помощи вспомогательной плоскости, не проходящей через $A$ и $B$. Она пересекает прямую $AB$ в одной точке, тем самым задавая часть. Как это сделать по координатам? Допустим, точки $A,B$ и плоскость заданы четвёрками проективных координат. Как определить их взаимное расположение? Возможно, это знак какого-нибудь определителя?

[Munin]

А зачем так сурово? Нельзя ли просто точкой $C$ на прямой $AB$?

-- 08.04.2020 15:54:44 --

Я как-то выпал, а почему плоскость задаётся четвёркой проективных координат, а не шестёркой.

[george66]

Потому что двойственность. Это прямая шестёркой. Плоскость
$ax + by + cz + dw = 0$

[Munin]

А, совсем мозги растерял :-) Спасибо.

[Munin]

Если бы у нас было не проективное пространство, а эллиптическое, я бы взял, собственно, два скалярных произведения, и смотрел на их знаки. То есть, на языке аналитической геометрии, подстановка точек в уравнение плоскости.

[george66]

Думаю, что это не годится. Координаты и точки, и плоскости определены с точностью до множителя. Мы можем умножить точку на $-1$, знак скалярного произведения изменится.

[Munin]

Ну соответственно, надо их соответственно в начале "нормировать".

[george66]

Умножение на $-1$ не меняет норму!

[Munin]

Я поэтому кавычки и поставил. Ну надо сообразить как. Скажем, привести последнюю координату к значению 1. Или просто к положительному.

[george66]

Конкретнее. Возьмём множество кватернионов нормы единица (трёхмерную сферу), факторизованное по $\{+1,-1\}$ (то есть, кватернионы $q$ и $-q$ отождествляем). Это проективное пространство. Возьмём две точки $A,B$, например $1,i$
На прямой $AB$ есть две "середины" между $1$ и $i$
$(1+i)/\sqrt 2$
$(1-i)/\sqrt 2$
Как по произвольной плоскости, не проходящей через $1$ и $i$, выбрать одну из середин?

[arseniiv]

george66 в сообщении #1452783 писал(а):

Как определить их взаимное расположение? Возможно, это знак какого-нибудь определителя?

Вернёмся к $\bigwedge V$, где $V$ четырёхмерно. Вопрос становится, как выразить взаимное расположение трёх прямых, (лежащих в одной 2-плоскости) и 3-плоскости вообще, а уж потом-то через наши координаты в базисах $(e_1, \ldots, e_4)$ и $({\star}e_1, \ldots, {\star}e_4)$, так что $e_i\wedge{\star}e_i = e_{1234} \equiv e_1\wedge e_2\wedge e_3\wedge e_4$.

Тут можно, я думаю, переделать вопрос ещё дальше так: есть уже четыре прямые, и надо найти, «по один ли угол» от двух данных прямых две другие. Одной из последних будет прямая пересечения 3-плоскости с 2-плоскостью, так что может понадобиться ещё и шестёрка её координат потом. Поехали выражать:

• Как найти сумму двух подпространств? Если они заданы однородными элементами внешней степени $A$ и $B$ и имеют тривиальное пересечение, то соответствующий элемент — это просто $A\wedge B$. Для проведения единственной прямой через две не совпадающие точки тривиальное пересечение автоматически выполняется.

• Как пересечь два подпространства? Если они в сумме дают всё пространство, то результат — ${\star}^{-1}({\star}A\wedge {\star}B)$. Увы, $\star$ требует метрики и ориентации, но в таком использовании оно всё сокращается назад. Мы можем определить эту операцию (линейную, как и $\wedge$ и $\star$) так же атомарно, как и $\wedge$, если она вдруг останется явно в результате. Всё пространство в сумме опять же у нас будет выполняться, потому что вы предполагаете пересекать прямую с гиперплоскостью, не содержащей её.

• Итак, мы пересекли гиперплоскость с прямой, проходящей через две точки, найдя третью точку, и хотим узнать, расположена ли четвёртая в том же отрезке, что и третья, или в другом. На деле у нас есть четыре прямые, и мы хотим знать, в тех ли же двух углах между первой и второй четвёртая, что и третья, притом прямые представлены векторами, известными с точностью до длины. Вот тут скалярное произведение может чего-то дать, а может не дать, вообще оно в принципе-то избыточно.

-- Чт апр 09, 2020 00:25:52 --

Я тут с языка $V$ на язык лежачего в нём аффинного подпространства скакал туда-сюда, но надеюсь понятно. Надо бы какие-нибудь значки проставить, где что…

-- Чт апр 09, 2020 00:27:03 --

И потом собрать всё в одну формулу и попытаться добиться того, чтобы не надо было считать бивекторы (шестикомпонентные-то), чтобы обойтись только четырёхкомпонентными точками и плоскостью.

-- Чт апр 09, 2020 00:31:57 --

Погодите, а как там двойное отношение-та определялось?

-- Чт апр 09, 2020 00:45:55 --

Пока такая заметка: если $\mathbf c = c_a\mathbf a + c_b\mathbf b$, $\mathbf d = d_a\mathbf a + d_b\mathbf b$, то если ($c_a > 0 < c_b$ или $c_a < 0 > c_b$), $\mathbf c, \mathbf d$ лежат в одной паре вертикальных углов (что нас и интересует), ровно если ($d_a > 0 < d_b$ или $d_a < 0 > d_b$), и для другой пары неравенства будут ($x_a > 0 > x_b$ или $x_a < 0 < x_b$). Это бы как-то укомпактить… (и понатуральнее учесть случаи совпадений точек).

-- Чт апр 09, 2020 00:53:34 --

Ага, как минимум знак банального $c_a c_b d_a d_b$ разделяет интересующие случаи и равен нулю при совпадениях, но как-то это всё недостаточно инвариантно. Если запретить совпадения, можно сделать более приемлемое проективно даже осмысленное $\frac{c_a}{c_b} \frac{d_a}{d_b}$, но это вычислительно нехорошо.

[george66]

Хотя, кажется, работает простое решение! Подставим две точки в плоскость и сравним знаки. Мы можем определить, разделяет ли плоскость эти точки на сфере. Положим
$sign = 1$ если разделяет
$sign = -1$ если не разделяет
Возьмём две точки $A,B$, для простоты пусть $A=1$, а $B=i$ или $B=-i$
Тогда формулу середины можно записать так
$(1+sign\cdot B)/\sqrt 2$
Пусть $B=i$, а плоскость разделяет $1,i$, тогда $sign=1$ и серединой будет
$(1+i)/\sqrt 2$
Если $B=-i$, а плоскость та же самая, то она не разделяет $1,-i$, поэтому $sign=-1$ и середина та же самая
$(1-(-i))/\sqrt 2=(1+i)/\sqrt 2$
В общем случае формула середины сложней, но я её знаю.