Еще до появления соответствующего результата Шредингера, Гейзенберг в январе 1926-го
получил спектр атома водорода вместе с кратностью вырождения уровней из тогда новой "матричной механики" (матричная механика и исторический контекст подробно обсуждаются в учебнике Вайнберга по квантовой механике). В этой задаче предлагается проделать то же самое, используя современные обозначения (и почти 100-летний опыт). Задачу можно предлагать в качестве "финального проекта" в конце первого семестра/четверти по квантовой механике.
Как известно, "случайное" вырождение уровней в спектре атома водорода является результатом соответствующей симметрии 4-х мерной группы вращений, связанной с сохранением вектора Рунге-Ленца, квантово-механический оператор которого есть

.
0. Проверьте эрмитовость оператора

.
1. Проверьте что

--- константа движения, т.е. что коммутатор
![$[\mathbf{A}, H]=0$ $[\mathbf{A}, H]=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/2/7f270bb8bcd3f524e945ea2ae37966fb82.png)
, где

.
2. Установите ортогональность

и

, т.е. что

.
3. Получите коммутационные соотношения:
![$[R_i, R_j] = -\frac{2 i H \hbar }{m} \varepsilon_{ijk} L_k$ $[R_i, R_j] = -\frac{2 i H \hbar }{m} \varepsilon_{ijk} L_k$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/b/88b5fa5971956d3ed5e1e82bddd5ea6882.png)
![$[R_i, L_j] = i \hbar \varepsilon_{ijk} R_k$ $[R_i, L_j] = i \hbar \varepsilon_{ijk} R_k$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/0/750f676cfe36a64e29acb882f397d8a782.png)
4. Проверьте справедливость

.
5. Рассмотрите связанные состояния и определите для них оператор:

. Получите для него коммутационные соотношения:
![$[K_i, K_j] = i\hbar \varepsilon_{ijk} L_k$ $[K_i, K_j] = i\hbar \varepsilon_{ijk} L_k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/6/a86c7d252887bf150847fc1fd7f62b0e82.png)
![$[K_i, L_j] = i\hbar \varepsilon_{ijk} K_k$ $[K_i, L_j] = i\hbar \varepsilon_{ijk} K_k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/3/1b3f553dcaec42b84db7cc9ea4986c1b82.png)
6. Проверьте что операторы

и

удовлетворяют перестановочным соотношениям для углового момента и могут быть одновременно диагонализованы.
7. Получите спектр атома водорода и посчитайте кратность вырождения его уровней.