Множества одновременно открытые и замкнутые

[bubu gaga]

Доказать, что $\mathbb{R}$ и $\emptyset$ единственные два множества, которые одновременно открыты и замкнуты. Подскажите, как доказать единственность? Спасибо!

[Brukvalub]

bubu gaga в сообщении #145228 писал(а):

Доказать, что $\mathbb{R}$ и $\emptyset$ единственные два множества, которые одновременно открыты и закрыты. Подскажите, как доказать единственность? Спасибо!

Почему единственные?
Любое топологическое пространство открыто и замкнуто в своей топологии, а разных топологических пространств - море (уж точно больше, чем пива).
Если же речь идет о вещественной прямой, то можно вспомнить описание всякого открытого в топологии этой прямой множества, и все станет ясно.

[Таня Тайс]

Сформулируем задачу так: Пусть $ U \subseteq \mathbb{R}, \; S \subset U$, причём $S $ открыто и замкнуто в $U$. Доказать, что $S=U$ или $S=\varnothing$.
Док-во: рассмотрим множество $S$ и его дополнение. Нам надо доказать, что одно из множеств пусто. Предположим, что они оба непусты. Тогда в каждом можно выбрать по точке. Получим отрезок, концы которого лежат в разных множествах. Разделим его пополам и выберем снова из двух такой , концы которого лежат в разных множествах. В результате предельного перехода получим противоречие с известн. теоремой мат.анализа. Что и требовалось.

[id]

bubu gaga
Числовая прямая, как известно, связана. Даже линейно.

Если бы существовало отличное от тривиальных открыто-замкнутое множество, то оно со своим дополнением давало бы разбиение прямой на два дизъюнктных открыто-замкнутых множества. Что противоречит определению связанности.

[bubu gaga]

Brukvalub писал(а):

Если же речь идет о вещественной прямой

Да, речь о $\mathbb{R}$. Простого доказательства у меня не получается. Получается вот такая ерунда:

Пусть дано непустое собственное подмножество $A \subset \mathbb{R}$. И допустим оно открыто. Возьмём точку $a \in A$ и найдём $\sup\{\epsilon : O_\epsilon(a) \in A\}$. Тогда одна из точек $a + \epsilon$ или $a - \epsilon$ не лежит в $A$, но является предельной. Соответственно множество $A$ не может быть замкнутым.

Добавлено спустя 6 минут 35 секунд:

Таня Тайс писал(а):

В результате предельного перехода получим противоречие с известн. теоремой мат.анализа. Что и требовалось.

Ага, то есть мы получаем единственную точку, которая для обоих множеств является предельной. Понятно. Спасибо!

Добавлено спустя 2 минуты 56 секунд:

id писал(а):

Числовая прямая, как известно, связана.

Связанность появится через главу, но я учту, спасибо!

[Профессор Снэйп]

bubu gaga писал(а):

Доказать, что $\mathbb{R}$ и $\emptyset$ единственные два множества, которые одновременно открыты и закрыты.

Что такое "закрытое" множество, я не знаю. Обычно используется термин "замкнутое".

[bubu gaga]

Профессор Снэйп писал(а):

bubu gaga писал(а):

Доказать, что $\mathbb{R}$ и $\emptyset$ единственные два множества, которые одновременно открыты и закрыты.

Что такое "закрытое" множество, я не знаю. Обычно используется термин "замкнутое".

Неверно с английского перевёл. Поправил, спасибо!