Бесконечно вложенные радикалы

[mihaild]

Munin в сообщении #1452334 писал(а):

а ваша, как легко заметить, легко теряет решения

Нет, это ваша формализация добавляет посторонние решения:)

Munin в сообщении #1452334 писал(а):

С каждым отдельным видом "формулы с многоточием" связывают отдельную теорию

Естественно с разными видами последовательностей интересно изучать разные операции (как правило интересны сохраняющие вид последовательности). Еще пример - цепные дроби, в них тоже многоточие последовательно заменяется на всё большее число членов, и берется предел.

Munin в сообщении #1452334 писал(а):

привлекают и ассоциативность знака ``$+$''

А это только для задания последовательности - иначе уже третий член последовательности, $x_1 + x_2 + x_3$, будет означать неизвестно что. Естественно при записи формулы с многоточием нужно, чтобы были определены все конечные члены.

Munin в сообщении #1452334 писал(а):

и бесконечные ординалы

Ну разве что для того, чтобы определить само понятие последовательности. Для этого достаточно $\omega$.

Munin в сообщении #1452334 писал(а):

Например, $\cos\cos\cos\ldots$ никак не получится вычислить "слева направо".

Я первый раз вижу вообще такую запись. Что она означает - предел (в каком-то смысле) последовательности функций $f_{n+1} = \cos\circ f_n$ (более известный как функция $f(x) = t$, где $t$ - неподвижная точка косинуса)?

Munin в сообщении #1452334 писал(а):

Приём amon - замена $10\sqrt{10\sqrt{10...}}$ на $\prod\limits_{n=1}^{\infty}10^\frac{1}{2^n}$ - тоже надо ещё обосновать

Это вопрос определения, что вообще значит левая часть. Если считать (что мне представляется логичным), что слева записан, по определению, предел последовательности $10\sqrt{10\sqrt{\ldots \sqrt{10}}}$ ($n$ корней) при $n \to \infty$, то это простое переписывание - $n$-й член последовательности как раз равен $n$-му частичному произведению.

[Munin]

nnosipov в сообщении #1452344 писал(а):

Это тоже стандартный момент: на основе рекуррентной формулы по индукции получаем явную формулу (в простых ситуациях в виде конечного произведения или суммы).

Не спорю, что для конечных формул это работает :-)

Проблема в бесконечности формулы.

[nnosipov]

Munin в сообщении #1452359 писал(а):

Проблема в бесконечности формулы.

Не вижу проблемы: бесконечная формула --- это предел конечной (обычно понятно какой: возьмем $n$ знаков корня, знаков косинуса и т.п.). Да и вообще, никто не заставляет писать бесконечные формулы с многоточием, разве что традиции и/или желание выпендриться (и тем самым создать ненужные трудности читателю в понимании природы того объекта, о котором задача). Для новичков это особенно опасно, им наоборот нужно предлагать максимально разжеванные формулировки. Настоящий топик тому пример.

[Munin]

mihaild в сообщении #1452357 писал(а):

Естественно с разными видами последовательностей

Стоп, стоп, стоп. Увлекаться разными последовательностями - я не против. Но перед нами не последовательность. Перед нами формула. Синтаксическое дерево, если угодно. И синтаксическое дерево, которое вычислить нельзя, в отличие от отдельных членов последовательности. Даже вычислимое поддерево выделить нельзя (не считая листьев $10$).

mihaild в сообщении #1452357 писал(а):

Еще пример - цепные дроби, в них тоже многоточие последовательно заменяется на всё большее число членов, и берется предел.

Да, я его знаю, но не упомянул, потому что он не иллюстрирует мою точку зрения :-)

mihaild в сообщении #1452357 писал(а):

Естественно при записи формулы с многоточием нужно, чтобы были определены все конечные члены.

Хорошо. Но тогда недостаточно просто написать формулу с многоточием, надо явно задать эти самые конечные члены или способ их определения. И я не согласен здесь ни на какие компромиссы типа "интуитивно ясно". Либо это сделано, либо не сделано, и тогда мы имеем дело с другой постановкой задачи, не с последовательностью.

mihaild в сообщении #1452357 писал(а):

Я первый раз вижу вообще такую запись. Что она означает?..

Вот. Законный вопрос. Именно тот же вопрос необходимо задать и к записи ТС.

mihaild в сообщении #1452357 писал(а):

Что она означает - предел (в каком-то смысле) последовательности функций $f_{n+1} = \cos\circ f_n$ (более известный как функция $f(x) = t$, где $t$ - неподвижная точка косинуса)?

Законное предположение. Запомним его.
Почему вы отказываете в аналогичном предположении по отношению к задаче ТС?

mihaild в сообщении #1452357 писал(а):

Это вопрос определения, что вообще значит левая часть.

Угу. А оно не дано. В школе вообще дефинируются только конечные формулы. В стандартных курсах матанализа - ещё и ряды. Ряд, строго говоря, не формула вообще, но для наглядности записывается как бесконечная формула. (Согласен ещё и на цепные дроби и бесконечные произведения.) Других строго определённых бесконечных формул нет. (Может, где-то в глубинах математики и есть. Я не против. Однако тогда вопрос стоит об общеизвестности и общепринятости этих определений, вправе ли мы полагать их действующими в scope задачи.)

mihaild в сообщении #1452357 писал(а):

Если считать (что мне представляется логичным)

Опять аргументация к "интуитивно очевидно". Не принимается.

[nnosipov]

amon в сообщении #1452135 писал(а):

dimka21 в сообщении #1452132 писал(а):

Откуда появляется посторонний корень?

Тут вопрос - откуда вообще корни берутся и что они означают. Это рассуждение из серии

$$S=1-1+1\dots=1-S\Rightarrow S=\frac{1}{2}$$

Вот, кстати, очень верно подмечено: мутная формулировка --- главный источник проблем.

[Munin]

nnosipov в сообщении #1452364 писал(а):

Не вижу проблемы: бесконечная формула --- это предел конечной (обычно понятно какой: возьмем $n$ знаков корня, знаков косинуса и т.п.).

У-у-у, а если формула ветвится? :-)

Хорошо, я беру предел таких формул:

$$\textstyle 0,\qquad 10\sqrt{0},\qquad 10\sqrt{10\sqrt{0}},\qquad 10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{0}}},\qquad\ldots$$

Докажите мне, что он не будет равен рассматриваемой бесконечной формуле :-) (Не докажете, ибо в разумном определении предела формул - равен.)

nnosipov в сообщении #1452364 писал(а):

Да и вообще, никто не заставляет писать бесконечные формулы с многоточием

Хм-м-м, а подскажите, где я могу купить бесконечную бумагу? :-)

-- 07.04.2020 17:19:44 --

nnosipov в сообщении #1452370 писал(а):

Вот, кстати, очень верно подмечено: мутная формулировка --- главный источник проблем.

Ну почему мутная? :-) Предельно ясная - только не определённая.

[nnosipov]

Munin в сообщении #1452371 писал(а):

Предельно ясная - только не определённая.

Ну да, как у Мюллера: ясность --- это одна из форм полного тумана

Я немного потерял нить разговора, он становится каким-то философским и не конкретным. Честно говоря, с мутными формулировками задач я не знаю что делать. Я их бегу и сам подобное не пишу (по крайне мере, стараюсь).

[mihaild]

Munin в сообщении #1452365 писал(а):

Перед нами формула

Это перед вами бесконечная формула, а передо мной - бесконечная последовательность конечных формул. Потому что что такое значение бесконечного выражения - я не знаю. Бесконечные деревья ввести, конечно, можно, но не вижу, какая от них польза.

Munin в сообщении #1452365 писал(а):

надо явно задать эти самые конечные члены или способ их определения. И я не согласен здесь ни на какие компромиссы типа "интуитивно ясно"

Т.е. скажем с записью "найдите предел суммы $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots$" вы тоже не согласны, потому что здесь требуется Ktina-like угадывание общей формулы?
Эта позиция имеет право на жизнь, но тогда про исходную задачу вообще ничего сказать нельзя. Вдруг там многоточие - это не продолжение корней, а всего лишь $\Gamma(x)$?
Многоточие, где "интуитивно понятно", что дальше, используется, например, в Демидовиче - "$n = 1, 2, \ldots$", или даже "найти частичные пределы последовательности $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \ldots$".

Munin в сообщении #1452365 писал(а):

Именно тот же вопрос необходимо задать и к записи ТС.

А вот запись как у ТС я вижу не первый раз.

Munin в сообщении #1452365 писал(а):

Почему вы отказываете в аналогичном предположении по отношению к задаче ТС?

Потому что это дурацкое предложение. Вводить эту функцию можно гораздо менее затратным способом.
Плюс вашу формулу совершенно непонятно как обрывать, чтобы получить промежуточное значение, а формулу ТС - понятно.

nnosipov в сообщении #1452364 писал(а):

бесконечная формула --- это предел конечной

А как определяется сходимость на формулах?

[nnosipov]

mihaild в сообщении #1452377 писал(а):

А как определяется сходимость на формулах?

Моя фраза про предел формул была неформальной Если что, я основательно забыл матлогику и в формулах оттуда ничего не понимаю.

Вот, кстати, пример бесконечной формулы:

$$\sqrt{22+\sqrt{22-\sqrt{22+\sqrt{22+\sqrt{22-\sqrt{22+\ldots}}}}}}$$

Мне он кажется интуитивно ясным. Но так ли это?

[dimka21]

Munin в сообщении #1452371 писал(а):

Хорошо, я беру предел таких формул:

$$\textstyle 0,\qquad 10\sqrt{0},\qquad 10\sqrt{10\sqrt{0}},\qquad 10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{0}}},\qquad\ldots$$

Докажите мне, что он не будет равен рассматриваемой бесконечной формуле (Не докажете, ибо в разумном определении предела формул - равен.)

О я вспомнил как раньше пытался так опровергнуть доказательство $0,(9)=1$
Само доказательство :
$0,(9)=x$
$9,(9)=10x$
$9,(9)-0,(9)=10x-x$
$x=1$
Я подумал что 0,(9)=0,999...999 и провел теже преобразования
$0,999...999=x$
$9,999...990=10x$
$9,999...990-0,999.999=9x$
$8,999...991=9x$
$x=\frac{8,999...991}{9}$

[Munin]

mihaild в сообщении #1452377 писал(а):

Это перед вами бесконечная формула, а передо мной - бесконечная последовательность конечных формул.

Ну для последовательности должны быть выписаны отдельные члены или общий вид члена, не так ли?

mihaild в сообщении #1452377 писал(а):

Бесконечные деревья ввести, конечно, можно, но не вижу, какая от них польза.

Польза - чтобы вы увидели то, что перед вами написано :-)

mihaild в сообщении #1452377 писал(а):

Потому что что такое значение бесконечного выражения - я не знаю.

И никто не знает.

mihaild в сообщении #1452377 писал(а):

Т.е. скажем с записью "найдите предел суммы $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots$" вы тоже не согласны

Согласен, потому что про суммы был отдельный разговор и в школе и в вузе.

А вот "найдите предел выражения", например,

$r+r\parallel(r+r\parallel(r+r\parallel(\ldots)))$     (где $r_1\parallel r_2$ - параллельное соединение сопротивлений)

- штука, требующая, imho, дополнительных пояснений.

И даже банальное $1-(1-(1-(\ldots))).$

mihaild в сообщении #1452377 писал(а):

Вдруг там многоточие - это не продолжение корней, а всего лишь $\Gamma(x)$?

Нет, я согласен с тем, что многоточие - это продолжение корней. Я не согласен с произвольно вводимым "затравочным членом последовательности". Многоточие бесконечно, и заявлять, что всё там начиналось с $10$ - это разговоры примерно того же уровня, что и обсуждение последней цифры числа $\pi.$

mihaild в сообщении #1452377 писал(а):

А вот запись как у ТС я вижу не первый раз.

Угу.

И мне кажется, тут сработал такой эффект. Когда-то в школе, без должной строгости, вам сказали, как эту запись понимать. И сейчас вы повторяете ту же идею, однако почёрпнутую изустно. В учебных текстах строгой формализации, на которой вы настаиваете, нет.

mihaild в сообщении #1452377 писал(а):

Потому что это дурацкое предложение. Вводить эту функцию можно гораздо менее затратным способом.

Да вообще любое число можно вводить менее затратным способом. Зачем только люди уравнения решают. Достаточно просто сказать "обозначим искомое число через $x_1$", и идти домой - обозначение не хуже $\pi$ или $e$ или $i.$

mihaild в сообщении #1452377 писал(а):

Плюс вашу формулу совершенно непонятно как обрывать, чтобы получить промежуточное значение, а формулу ТС - понятно.

Угу. Потому что ваш метод - это получать промежуточные значения и искать пределы. А мой - сразу смотреть на стационарные точки. Но разве ответ на задачу может зависеть от метода решения? Разве можно навязывать метод задаче?

mihaild в сообщении #1452377 писал(а):

А как определяется сходимость на формулах?

:-)

[slavav]

Справедливости ради, надо сказать что половина форума решает задачу $x = \dots10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10}}}$.

[nnosipov]

Munin в сообщении #1452394 писал(а):

А мой - сразу смотреть на стационарные точки.

Вот просто посмотреть и все? Собственно, ТС так и сделал. А доказывать сходимость к ним не нужно?

[Munin]

slavav в сообщении #1452396 писал(а):

Справедливости ради, надо сказать что половина форума решает задачу $x = \dots10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10}}}$.

Во! +1! + много!
Задачу подменили! Ваша формула правильно изображает то, что решают вместо исходной задачи :-)

-- 07.04.2020 18:24:00 --

nnosipov в сообщении #1452400 писал(а):

Вот просто посмотреть и все? Собственно, ТС так и сделал. А доказывать сходимость к ним не нужно?

А разве в задаче где-то упоминается сходимость? :-)
Чтобы была сходимость, должна быть последовательность. Я не вижу последовательности. Я вижу бесконечную формулу.

Замечу, что разные последовательности могут давать одинаковые пределы. Так что задача "восстановить последовательность по пределу" может быть решена не однозначно. И после этого апеллировать к последовательности - сомнительно, без исследования вопроса.

-- 07.04.2020 18:25:34 --

nnosipov в сообщении #1452400 писал(а):

Вот просто посмотреть и все? Собственно, ТС так и сделал.

Ну и я не вижу проблемы в том, что он сделал. Да, мы вынуждены признать, что у этой формулы можно вычислить два значения :-) А чего мы хотели, объект изначально экзотический.

А если перед вами несобственный интеграл, то у него значений может быть ещё больше...

[nnosipov]

Munin в сообщении #1452402 писал(а):

Да, мы вынуждены признать, что у этой формулы можно вычислить два значения

Огласите, плиз, эти два значения.

-- Вт апр 07, 2020 22:35:15 --

Munin в сообщении #1452402 писал(а):

А разве в задаче где-то упоминается сходимость?
Чтобы была сходимость, должна быть последовательность. Я не вижу последовательности. Я вижу бесконечную формулу.

Так задача вырвана из контекста. Стартовое сообщение, мягко говоря, лишено необходимых подробностей.