Вектор Рунге-Ленца, матричная механика и спектр водорода

[physicsworks]

Еще до появления соответствующего результата Шредингера, Гейзенберг в январе 1926-го получил спектр атома водорода вместе с кратностью вырождения уровней из тогда новой "матричной механики" (матричная механика и исторический контекст подробно обсуждаются в учебнике Вайнберга по квантовой механике). В этой задаче предлагается проделать то же самое, используя современные обозначения (и почти 100-летний опыт). Задачу можно предлагать в качестве "финального проекта" в конце первого семестра/четверти по квантовой механике.

Как известно, "случайное" вырождение уровней в спектре атома водорода является результатом соответствующей симметрии 4-х мерной группы вращений, связанной с сохранением вектора Рунге-Ленца, квантово-механический оператор которого есть
$\mathbf{A} = \frac{\mathbf{p} \times \mathbf{L}-\mathbf{L} \times \mathbf{p}}{2m} - e^2 \frac{\mathbf{r}}{r}$.
0. Проверьте эрмитовость оператора $\mathbf{A}$.
1. Проверьте что $\mathbf{A}$ --- константа движения, т.е. что коммутатор $[\mathbf{A}, H]=0$, где $H = \mathbf{p}^2/2m - e^2/r$.
2. Установите ортогональность $\mathbf{L}$ и $\mathbf{A}$, т.е. что $\mathbf{A} \cdot \mathbf{L} = \mathbf{L} \cdot \mathbf{A} = 0$.
3. Получите коммутационные соотношения:
$[R_i, R_j] = -\frac{2 i H \hbar }{m} \varepsilon_{ijk} L_k$
$[R_i, L_j] = i \hbar \varepsilon_{ijk} R_k$
4. Проверьте справедливость
$R^2 = \frac{2 H}{m} (L^2 + \hbar^2) + e^4$.
5. Рассмотрите связанные состояния и определите для них оператор: $\mathbf{K} = \sqrt{-m/2H} \mathbf{A}$. Получите для него коммутационные соотношения:
$[K_i, K_j] = i\hbar \varepsilon_{ijk} L_k$
$[K_i, L_j] = i\hbar \varepsilon_{ijk} K_k$
6. Проверьте что операторы $\mathbf{(L+K)}/2$ и $\mathbf{(L-K)}/2$ удовлетворяют перестановочным соотношениям для углового момента и могут быть одновременно диагонализованы.
7. Получите спектр атома водорода и посчитайте кратность вырождения его уровней.

[Munin]

physicsworks в сообщении #1452176 писал(а):

Еще до появления соответствующего результата Шредингера, Гейзенберг в январе 1926-го получил спектр атома водорода вместе с кратностью вырождения уровней из тогда новой "матричной механики" (матричная механика и исторический контекст подробно обсуждаются в учебнике Вайнберга по квантовой механике). В этой задаче предлагается проделать то же самое, используя современные обозначения (и почти 100-летний опыт).

Хм. А Фейнмановским методом этот спектр легко получить? ;-)

[physicsworks]

Munin, ну, сравнительно легко --- есть статья 79-года (Фейнман, напомню, засабмитил диссертацию в 42-м): Solution of the path integral for the H-atom: http://users.physik.fu-berlin.de/~kleinert/kleiner_re65/65.pdf

[Munin]

Спасибо!

[physicsworks]

(spoiler)

Мне здесь в ЛС g______d подсказал, что задача решена в книге Леона Тахтаджяна "Квантовая механика для математиков".

[AnatolyBa]

(Оффтоп)

И у Садбери (Квантовая механика и физика элементарных частиц). Книга тоже формально адресована математикам.