2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 О производной неявной функции
Сообщение05.04.2020, 09:24 


09/11/12
210
Донецк
Дорогие друзья ! Позвольте мне проконсультироваться с Вами по поводу относительно простой задачи из книги Н.А. Давыдов, П.П. Коровкин, В.Н. Никольский. Сборник задач по математическому анализу. - М.: Просвещение, 1964. Это задача 1932 на стр. 121 в этой книге. Итак, требовалось найти
$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$ для функции, заданной неявно соотношением $$x^2+y^3+z^4=x+z.\qquad(1)$$
Проблема в том, что у меня решение не сходится с ответом в книге, поэтому хотелось бы узнать Ваше мнение: эту задачу я неправильно решаю, или -- ошибка в книге ? Привожу ниже решение задачи, вот оно. Дифференцируя (1) по $x$ получим:

$$2x+4z^3\cdot z_x=1+z_x\,,\qquad(2)$$

где, как обычно, $z_x:=\frac{\partial z}{\partial x}.$ Теперь дифференцируем (2) по $y,$ получаем:

$$12z^2\cdot z_xz_y+4z^3\cdot z_{xy}=z_{xy}\,.\qquad(3)$$

Выносим в (3) за скобки $z_{xy},$ получаем:

$$z_{xy}(1-4z^3)=12z^2z_xz_y\,.\qquad(4)$$

Из соотношения~(2) $z_x(1-4z^3)=2x-1,$ $z_x=\frac{2x-1}{1-4z^3}.$ Из
(1) также имеем (дифференцированием по $y$), что

$$3y^2+4z^3\cdot z_y=z_y\,,$$

$$3y^2=z_y(1-4z^3)\,.$$

Тогда из (4) получаем ответ, что

$$z_{xy}=\frac{12z^2z_xz_y}{(1-4z^3)}=\frac{36z^2(2x-1)y^2}{(1-4z^3)^3}\,.$$

В то же время правильный ответ из книги: $$\frac{36(1-2x)z^2y^2-2(4z^3-1)^2}{(4z^3-1)^3}\,.$$

Вопрос: всё ли правильно я делаю ? Такой вопрос у меня возник ещё и в связи с тем, что решая предыдущую задачу 1931 (найти $\frac{\partial^2z}{\partial x^2}$ для функции, заданной неявной соотношением $x^2+y^2+z^2=2z$) у меня также не сошлось с ответом. У меня получается ответ $z_{xx}=\frac{1-2z+z^2+x^2}{(1-z)^3},$ а в книге ответ
$z_{xx}=\frac{4-4z+z^2+x^2}{(2-z)^3}.$ Вы не могли бы сказать, кто из нас ошибается: книга или я ? Заранее благодарен за Ваше мнение !

 Профиль  
                  
 
 Re: О производной неявной функции
Сообщение05.04.2020, 09:44 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Evgenii2012 в сообщении #1451463 писал(а):
Вы не могли бы сказать, кто из нас ошибается: книга или я ?
Оба ответа могут быть правильными. Попробуйте ответ из книги свести к Вашему, заменив все степени $z^k$ с $k \geqslant 4$ степенями, меньшими $4$ (используя уравнение, которому удовлетворяет $z$).

Upd. Хотя нет, здесь это не поможет, ответы явно разные. Но у Вас ответ правильный (по крайней мере, у меня получилось так же).

 Профиль  
                  
 
 Re: О производной неявной функции
Сообщение05.04.2020, 10:48 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Evgenii2012 в сообщении #1451463 писал(а):
У меня получается ответ $z_{xx}=\frac{1-2z+z^2+x^2}{(1-z)^3},$ а в книге ответ
$z_{xx}=\frac{4-4z+z^2+x^2}{(2-z)^3}.$
И здесь Вы правы.

 Профиль  
                  
 
 Re: О производной неявной функции
Сообщение05.04.2020, 11:11 


09/11/12
210
Донецк
nnosipov, большое спасибо за Ваше мнение !

 Профиль  
                  
 
 Re: О производной неявной функции
Сообщение05.04.2020, 13:50 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  И, Evgenii2012, не ставьте проценты в таком количестве. За пределами математического тэга движок LaTeX не работает и они видны (сейчас я их поубирал).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group