можно ли восстановить плотность распределения по моментам

[bubu gaga]

Если известны все моменты $\mu_1, \mu_2, \dots$ случайной величины, можно ли по ним вычислить плотность распределения этой случайной величины $f(x)$? Спасибо!

[ИСН]

Формально можно. Разложение Грама-Шарлье.
http://mathworld.wolfram.com/CharlierSeries.html

[PAV]

Вообще говоря нельзя. Это известная "проблема моментов". Подробнее можно прочитать в учебнике Ширяева "Вероятность" (стр. 373-375 в издании 3, 2004). Там приведен пример построения двух различных плотностей, имеющих одинаковые моменты. Приведены также некоторые достаточные критерии, при выполнении которых моменты действительно однозначно задают распределение.

[bubu gaga]

PAV писал(а):

"Вероятность" (стр. 373-375 в издании 3, 2004).

У меня есть только второе издание на английском. Как эта глава называется?

Меня это заинтересовало когда я пытался понять что такое производная случайного процесса. Допустим в случайном процессе нас интересует как распределение меняется со временем. Выпишем как моменты зависят от времени, например для стандартного винеровского процесса $W(t)$ получим вектор $(0, \; \sigma^2 \, \Delta t, \; 0, \; 3 \sigma^4 \, \Delta t^2, \; \dots )^T$. Разделив на $\Delta t$ и устремив $\Delta t \to 0$ получаем ту самую пропорциональную времени часть $dW$.

По крайней мере этот метод одинаково работает для случайных и неслучайных процессов. Такая эвристика вообще имеет право на существование, или это сон разума?

Спасибо!

[PAV]

Этим вопросом заканчивается параграф про характеристические функции