Многомерная замена переменных

[Geroa]

Добрый день!

Прошу помощи в следующей задачке.
Имеется некоторый интеграл от $x_1,...,x_s$ по области $[0,1]^s$, нужно сделать в нём конкретную подстановку:

$$x_{s} = y_1 \cdot...\cdot y_{s-1} \equiv Y$$

$$x_{1} = y_s$$

$$x_j = \frac{1-Y/y_j}{1-Y}, \; j=2,..,s-1$$

Якобиан легко считается

$$|J| = \prod_{j=1}^{s-1}\frac{Y/y_j}{1-Y} \ne 0$$

Суть проблемы в том, что я не могу параметризовать образ $[0,1]^s$, т.е. найти пределы интегрирования для $y_1,...,y_s$.
Для $s=1,2,3$ - просто: область переходит в себя.
Для $s = 4$ вроде получается так:

$$y_1 > 1, \; 0 \leqslant y_2 \leqslant \frac{1}{y_1}, \; 0 \leqslant y_3 \leqslant \frac{1}{y_1}, \; 0 \leqslant y_4 \leqslant 1.$$

Но как сделать в общем случае?

Изначально мне казалось, что при любом $s$ область переходит в себя. Но потом начал сомневаться. Пните в нужную сторону, спасибо!

[DeBill]

Geroa в сообщении #1450875 писал(а):

Для $s=1,2,3$ - просто: область переходит в себя.

Уже для $s=3$ область в себя не переходит.
Вообще, область изменения игреков ищется легко: надо на уже известные выражения для иксов навесить неравенства "иксы от нуля до один", и честно и аккуратно решить полученную систему неравенств.
Ну, вот и сделайте это для 3....

[Geroa]

Согласен, для $s=3$ уже не переходит. Спасибо!

[DeBill]

Geroa
Но, тем не мене, ограничения получаются, вроде бы, не шибко сложные (типа того, что Вы выписали для 4), и пределы хорошо расставляются. Вот только про якобиан: какой-то он шибко простой получился (и даже еще проще - ведь там произведение в числителе тоже, типа, выражается через $Y$). Для $s=3$, - да, хороший, но дальше я не смотрел. Короче: Вы не забыли, что $Y$ также есть функция от игреков?